📘 Dicionário de Matemática — Letra S
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de soma, seno e sequência a série, supremo, sistema linear, SVD, sigma-álgebra, Simpson e substituição trigonométrica.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Soma (Adição)Aritmética
Operação que combina quantidades, comutativa e associativa.
Propriedades: \(a+b=b+a\); \((a+b)+c=a+(b+c)\); elemento neutro \(0\).
SubtraçãoAritmética
Operação inversa da adição; não comutativa.
\(a-b=a+(-b)\);\; \(a-b\ne b-a\) em geral.
SenoTrigonometria
Razão entre cateto oposto e hipotenusa em triângulo retângulo; função periódica.
\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\);\; derivada: \((\sin x)’=\cos x\).
SecanteTrigonometria
Recíproca do cosseno.
\(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\);\; identidade: \(\tan^2x+1=\sec^2x\).
SequênciaSucessões
Função \(a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)); lista ordenada de termos.
Ex.: \(a_n=\dfrac{1}{n}\to0\); PA/PG: \(a_n=a_1+(n-1)r\), \(a_n=a_1q^{n-1}\).
SubsequênciaAnálise
Sequência obtida escolhendo termos por índices crescentes \(n_k\).
Se \(a_{n_k}\to L\), então \(L\) é ponto de acumulação de \(\{a_n\}\).
SérieSéries
Soma infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \); converge se somas parciais têm limite.
Testes úteis: razão, raiz, comparação, integral, alternada (Leibniz).
Série GeométricaSéries
Série com termos em PG.
\(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n=\dfrac{a}{1-r}\) para \(|r|<1\); soma parcial \(S_n=a\dfrac{1-r^{n}}{1-r}\).
Somatório (Notação \(\Sigma\))Notação
Símbolo para soma indexada.
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}\);\; linearidade: \(\sum (a_i+b_i)=\sum a_i+\sum b_i\).
Supremo (sup)Análise
Menor limitante superior de um conjunto.
Se \(M=\sup A\), então \(x\le M\) para todo \(x\in A\) e, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(x\in A\) com \(x>M-\varepsilon\).
SubconjuntoConjuntos
\(A\subseteq B\) se todo elemento de \(A\) está em \(B\).
Próprio: \(A\subset B\) e \(A\ne B\); operações: união, interseção, complemento.
Subespaço VetorialÁlgebra Linear
Subconjunto fechado por soma e por multiplicação escalar, contendo o vetor nulo.
Critério: se \(u,v\in S\Rightarrow u+v\in S\) e \(\alpha u\in S\) (\(\forall\alpha\in\mathbb{K}\)).
SubgrupoÁlgebra Abstrata
Conjunto \(H\subseteq G\) que é grupo com a operação de \(G\).
Teste: \(H\neq\varnothing\) e \(ab^{-1}\in H\) para \(a,b\in H\) \(\Rightarrow\) \(H\) é subgrupo.
Sobrejetora (Função)Funções
Cada elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio.
\(f:A\to B\) é sobrejetora se \(f(A)=B\).
Segmento de RetaGeometria
Parte da reta entre \(A\) e \(B\).
Comprimento: \(|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
Semelhança de TriângulosGeometria
Triângulos com ângulos correspondentes iguais e lados proporcionais.
Critérios: AA, LAL, LLL; razão de áreas \(=\) razão de lados ao quadrado.
Sistema LinearÁlgebra Linear
Conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas.
Forma matricial: \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\);\; solução via escalonamento, inversa (se existir) ou decomposições.
SVD — Valores SingularesÁlgebra Linear / Numérico
Fatoração \(A=U\Sigma V^\top\) com \(U,V\) ortogonais e \(\Sigma\) diagonal não negativa; robusta para pseudo-inversa e PCA.
Pseudo-inversa de Moore–Penrose: \(A^+=V\Sigma^+U^\top\) (inverte valores singulares não nulos).
Matriz SingularÁlgebra Linear
Matriz quadrada não invertível (\(\det A=0\)).
Equivalências: \(\operatorname{rank}(A)<n\); colunas/linhas linearmente dependentes.
Sigma-álgebra (\(\sigma\)-álgebra)Medida / Probabilidade
Coleção de subconjuntos fechada por complemento e uniões contáveis; define eventos mensuráveis.
Se \(\mathcal{F}\) é \(\sigma\)-álgebra em \(\Omega\): \(\varnothing\in\mathcal{F}\), \(A\in\mathcal{F}\Rightarrow A^c\in\mathcal{F}\), \(A_i\in\mathcal{F}\Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{F}\).
Regra de SimpsonCálculo Numérico
Fórmula de quadratura que aproxima integrais por parábolas locais.
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6}\big[f(a)+4f(\tfrac{a+b}{2})+f(b)\big]\).
Substituição TrigonométricaCálculo
Técnica para integrais com raízes quadráticas.
Ex.: \(\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin\theta\);\; \(\sqrt{x^2+a^2}\Rightarrow x=a\tan\theta\);\; \(\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec\theta\).
Série de PotênciasAnálise
Expansão \(\sum a_n(x-x_0)^n\) com raio de convergência \(R\).
Deriva/integraliza termo a termo em \(|x-x_0|<R\); \(R\) via testes da razão/raiz.
Suporte (de Função/Medida)Análise
Fecho do conjunto onde a função/medida não é nula.
\(\operatorname{supp}(f)=\overline{\{x: f(x)\ne0\}}\).
Superfície de NívelCálculo Multivariável
Conjunto \(\{(x,y,z): f(x,y,z)=c\}\) (ou curva de nível em 2D).
Gradiente é normal às superfícies: \(\nabla f\perp\) superfícies de nível.
Sistema EsféricoGeometria / Cálculo
Coordenadas \((\rho,\theta,\varphi)\) para pontos em \(\mathbb{R}^3\).
Jacobiano: \(dV=\rho^2\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta\);\; \(x=\rho\sin\varphi\cos\theta\), \(y=\rho\sin\varphi\sin\theta\), \(z=\rho\cos\varphi\).
Sistema CilíndricoGeometria / Cálculo
Coordenadas \((r,\theta,z)\) misturando polares e cartesianas.
Jacobiano: \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\);\; \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\).
Spline (Interpolação)Numérico / Geometria
Curva por partes (geralmente cúbica) suave em nós, usada para interpolar/alisar dados.
Spline cúbica natural: \(S”(a)=S”(b)=0\) e continuidade de \(S, S’, S”\) nos nós.
SubgrafoTeoria dos Grafos
Grafo obtido de \(G\) restringindo vértices/arestas.
Induzido por \(V’\subseteq V\): inclui todas as arestas de \(G\) com extremos em \(V’\).
Soma de MinkowskiGeometria / Convexidade
Soma de conjuntos vetoriais ponto a ponto.
\(A\oplus B=\{a+b:\, a\in A,\; b\in B\}\);\; preserva convexidade.
SigmoideModelagem / ML
Função em “S” usada como ativação e em regressão logística.
\(\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\);\; \(\sigma'(x)=\sigma(x)\big(1-\sigma(x)\big)\).
Sentiu falta de algum termo com “S”? Deixe nos comentários para atualização.
