📘 Dicionário de Matemática — Letra Z
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de \(\mathbb{Z}\) e zero a z-score, transformada Z, zeta de Riemann, Zorn, Zariski e ZFC.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
\(\mathbb{Z}\) (Inteiros)Aritmética / Álgebra
Conjunto dos inteiros positivos, negativos e zero; domínio euclidiano com noção de divisibilidade.
Divisão euclidiana: para \(a,b\in\mathbb{Z}\), \(b\ne0\), existem únicos \(q,r\) com \(a=bq+r\), \(0\le r<|b|\). MDC por Euclides; identidade de Bézout: \(\gcd(a,b)=ax+by\).
Teorema Fundamental da AritméticaTeoria dos Números
Todo inteiro \(n\ge2\) fatoriza-se de modo único (a menos de ordem) em potências de primos.
\(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\).
Zero (Elemento Neutro Aditivo)Álgebra
Elemento \(0\) tal que \(a+0=a\) para todo \(a\).
Em espaços vetoriais, \(\mathbf{0}\) satisfaz \(v+\mathbf{0}=v\).
Vetor Nulo \(\mathbf{0}\)Álgebra Linear
Vetor de todas as coordenadas iguais a 0; é único e pertence a todo subespaço.
\(\|\mathbf{0}\|=0\);\; \(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\).
Matriz NulaÁlgebra Linear
Matriz com todos os elementos zero; atua como absorvente na multiplicação à direita/esquerda com dimensões compatíveis.
\(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\), \(\mathbf{0}A=\mathbf{0}\);\; \(\det(\mathbf{0})=0\) (se quadrada não-trivial).
Zero DivisorTeoria dos Anéis
Elemento \(a\ne0\) tal que existe \(b\ne0\) com \(ab=0\).
Em \(\mathbb{Z}_6\): \(2\cdot3\equiv0\pmod{6}\) (ambos não nulos).
\(z=x+iy\) (Variável Complexa)Análise Complexa
Número complexo com parte real \(x\) e imaginária \(y\).
Forma polar: \(z=re^{i\theta}\), \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(\theta=\arg z\).
Zeros e Pólos (Função Racional)Análise Complexa / Sinais
Zeros: pontos onde \(f(z)=0\). Pólos: singularidades onde \(|f|\to\infty\) com ordem finita.
Se \(H(z)=\dfrac{B(z)}{A(z)}\), zeros são raízes de \(B\) e pólos de \(A\); fatoração: \(H(z)=K\frac{\prod(1-z_k z^{-1})}{\prod(1-p_k z^{-1})}\).
z-score (Padronização)Estatística
Valor padronizado que mede quantos desvios-padrão \(x\) está acima/abaixo da média.
\(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\);\; para amostra: \(z=\dfrac{x-\bar x}{s}\) (exploratório).
Teste z (Média)Inferência
Teste para média com \(\sigma\) conhecida (ou \(n\) grande).
Estatística: \(Z=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\) \(\sim\mathcal{N}(0,1)\) sob \(H_0\).
Transformada Z (Unilateral/Bilateral)Sinais / DSP
Transforma sequência discreta em função de \(z\); generaliza séries de potência.
Bilateral: \(X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}\);\; unilateral: \(\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}\). Deslocamento: \(Z\{x[n-n_0]\}=z^{-n_0}X(z)\).
ROC — Região de ConvergênciaSinais / DSP
Conjunto de \(z\) para os quais a série da transformada Z converge; geralmente anel centrado na origem.
Sinais causais (direita): ROC fora do maior pólo; anticausais (esquerda): dentro do menor pólo; estabilidade: ROC inclui o círculo unitário.
Função Zeta de Riemann \(\zeta(s)\)Análise / Números
Série \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) (Re\(s>1\)); estende-se analiticamente a \(\mathbb{C}\setminus\{1\}\).
Produto de Euler: \(\zeta(s)=\prod_{p}\big(1-p^{-s}\big)^{-1}\);\; hipótese de Riemann: zeros não triviais com Re\(s=\tfrac12\).
Zeta de Hurwitz \(\zeta(s,a)\)Funções Especiais
Generaliza Riemann: \(\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+a)^{-s}\) (Re\(s>1\), \(a\notin\{0,-1,-2,\dots\}\)).
Recupera polilog e números de Bernoulli em valores especiais; possui continuação analítica.
Z-móduloÁlgebra
Módulo sobre \(\mathbb{Z}\); equivale a grupo abeliano. Finitamente gerado decompõe-se em partes livre e torsão.
Teorema estrutural: \(G\cong \mathbb{Z}^r\oplus \bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}_{n_i}\) com \(n_i\mid n_{i+1}\).
Lema de ZornConjuntos / Lógica
Em todo poset em que toda cadeia tem majorante, existe elemento maximal.
Equivalente ao Axioma da Escolha (sob ZF); útil para provar existência (bases, ideais maximais, etc.).
Topologia de ZariskiGeometria Algébrica
Topologia em \(\mathbb{A}^n\) (ou variedades) onde fechados são conjuntos de zeros de famílias de polinômios.
Fechados básicos: \(V(I)=\{x: f(x)=0\ \forall f\in I\}\) para ideal \(I\subset k[x_1,\dots,x_n]\).
ZF / ZFCFundamentos
Axiomatizações de teoria dos conjuntos: Zermelo–Fraenkel (ZF); ZFC = ZF + Axioma da Escolha (AC).
Muitos resultados clássicos equivalem ao AC (Zorn, Tychonoff, bem-ordenação).
Conjunto de Medida ZeroMedida / Análise
Conjunto \(E\) com \(\mu(E)=0\); propriedades “quase sempre” ignoram tais conjuntos.
Ex.: \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) tem medida de Lebesgue 0.
Conjunto de ZerosAnálise
\(Z(f)=\{x: f(x)=0\}\). Em funções analíticas não identicamente nulas, zeros são isolados.
Multiplicidade \(m\): menor \(m\) tal que \(f^{(m)}(a)\ne0\) e \(f(x)=(x-a)^m g(x)\), \(g(a)\ne0\).
Zeckendorf (Teorema)Teoria dos Números
Todo inteiro positivo escreve-se de forma única como soma de números de Fibonacci não consecutivos.
Representação binária sem “11” nos “algarismos de Fibonacci”.
ZOH — Zero-Order HoldSinais / Controle
Retentor de ordem zero que mantém o último valor da amostra até a próxima; modela DAC em tempo discreto.
Resposta ao degrau amostrado modelada por convolução com pulso de largura \(T_s\); em \(s\): \(H_{\text{ZOH}}(s)=\dfrac{1-e^{-sT_s}}{s}\cdot \dfrac{1}{T_s}\).
Sentiu falta de algum termo com “Z”? Diga qual e eu adiciono imediatamente no mesmo padrão.
