Divisão Diretamente Proporcional
O que é Divisão Diretamente Proporcional?
É o procedimento de repartir um total \(S\) entre partes \(P_1,P_2,\dots,P_n\) na razão de números (ou pesos) positivos \(a_1,a_2,\dots,a_n\). Dizemos que a partilha é diretamente proporcional a \(a_i\) quando \[ P_i \propto a_i \quad \Rightarrow \quad P_i = k\cdot a_i, \] para uma constante \(k\) comum a todas as partes.
Como \(\sum P_i = S\), obtemos \(k\) e a fórmula prática: \[ k=\frac{S}{\sum a_i} \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{\,P_i=\frac{a_i}{\sum a_j}\cdot S\,}. \]
Interpretação: cada parte recebe a fração do total correspondente à sua “importância” \(a_i\) no somatório.
Quando usar
- Repartir lucros, prêmios, despesas ou áreas por pesos (horas, capital, produtividade, votos etc.).
- Distribuições em sociedades (capital × tempo).
- Rateios proporcionais a quantidades (nº de alunos, funcionários, máquinas).
Passo a passo
- Some os pesos: \(\Sigma a = a_1+a_2+\cdots+a_n\).
- Calcule a fração de cada um: \(\displaystyle \frac{a_i}{\Sigma a}\).
- Multiplique pelo total: \(P_i = \dfrac{a_i}{\Sigma a}\,S\).
Tabela de Partilha (modelo rápido)
| Participante | Peso \(a_i\) | Fração | Parte \(P_i\) |
|---|---|---|---|
| A | 2 | \(2/9\) | \((2/9)S\) |
| B | 3 | \(3/9\) | \((3/9)S\) |
| C | 4 | \(4/9\) | \((4/9)S\) |
| Total | \(\Sigma a=9\) | — | \(S\) |
Substitua \(S\) pelo total do problema para obter os valores numéricos.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Repartição de R$ 9.000 em 2:3:4
Enunciado: Dividir \(S=\) R$ 9.000 em partes proporcionais a \(2,3,4\).
👀 Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 2 + 3 + 4 = 9\).
- Fração de cada um: \(2/9,\; 3/9,\; 4/9\).
- Partes: A: \(\frac{2}{9}\cdot 9000\) = R$ 2.000; B: \(\frac{3}{9}\cdot 9000\) = R$ 3.000; C: \(\frac{4}{9}\cdot 9000\) = R$ 4.000.
Exemplo 2 — 1.400 m² proporcional a 2:5:7
Enunciado: Dividir \(S=1400\) m² em \(2:5:7\).
👀 Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 2 + 5 + 7 = 14\).
- Partes: \(\frac{2}{14}\cdot 1400\) = 200 m²; \(\frac{5}{14}\cdot 1400\) = 500 m²; \(\frac{7}{14}\cdot 1400\) = 700 m².
Exemplo 3 — Rateio por número de alunos
Enunciado: Distribuir \(360\) kits para turmas com \(12\), \(18\) e \(30\) alunos.
👀 Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 12 + 18 + 30 = 60\).
- Partes: \(\frac{12}{60}\cdot 360\) = 72; \(\frac{18}{60}\cdot 360\) = 108; \(\frac{30}{60}\cdot 360\) = 180.
Exercícios propostos
Clique para abrir apenas a solução de cada questão.
Exercício 1 — Repartição de R$ 12.600 em 3:5:7
Enunciado: Total \(S=\) R$ 12.600, pesos \(3,5,7\).
Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 3 + 5 + 7 = 15\).
- Partes: \(\frac{3}{15}\cdot 12600\) = R$ 2.520; \(\frac{5}{15}\cdot 12600\) = R$ 4.200; \(\frac{7}{15}\cdot 12600\) = R$ 5.880.
Exercício 2 — Rateio de 800 livros entre setores A:B:C = 1:3:6
Enunciado: \(S=800\), pesos \(1,3,6\).
Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 1 + 3 + 6 = 10\).
- Partes: \(\frac{1}{10}\cdot 800\) = 80; \(\frac{3}{10}\cdot 800\) = 240; \(\frac{6}{10}\cdot 800\) = 480.
Exercício 3 — Bônus de R$ 9.900 por produtividade 4:9
Enunciado: \(S=\) R$ 9.900, pesos \(4\) e \(9\).
Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 4 + 9 = 13\).
- Partes: \(\frac{4}{13}\cdot 9900\) = R$ 3.046,15; \(\frac{9}{13}\cdot 9900\) = R$ 6.853,85.
Exercício 4 — Área de 2.400 m² por 2:3:3:4
Enunciado: \(S=2400\) m², pesos \(2,3,3,4\).
Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 2 + 3 + 3 + 4 = 12\).
- Partes: \(\frac{2}{12}\cdot 2400\) = 400 m²; \(\frac{3}{12}\cdot 2400\) = 600 m²; \(\frac{3}{12}\cdot 2400\) = 600 m²; \(\frac{4}{12}\cdot 2400\) = 800 m².
Exercício 5 — Rateio por capital: R$ 18.000, capitais 5k, 7k, 10k
Enunciado: \(S=\) R$ 18.000, pesos proporcionais aos capitais: \(5,7,10\).
Ver solução passo a passo
- \(\Sigma a = 5 + 7 + 10 = 22\).
- Partes (2 casas): \(\frac{5}{22}\cdot 18000\) = R$ 4.090,91; \(\frac{7}{22}\cdot 18000\) = R$ 5.727,27; \(\frac{10}{22}\cdot 18000\) = R$ 8.181,82.
Conexões úteis (aprofundamento)
Reforce sua base em razão e proporção e pratique com regra de três simples e regra de três composta. Em contextos de sociedade (capital × tempo), veja regra de sociedade.
Materiais recomendados
Resumo final (para memorização)
- Fórmula: \(\displaystyle P_i=\frac{a_i}{\sum a_j}\,S\).
- Etapas: somar pesos → formar frações → multiplicar por \(S\).
- Checagem: \(\sum P_i = S\) e a razão \(P_i:P_j = a_i:a_j\).
- Evite: confundir com inversamente proporcional; esquecer unidades.
Divisão Diretamente Proporcional — Exercícios (Múltipla Escolha)
Clique em Ver solução para abrir a resolução passo a passo. Alternativas marcadas apenas no gabarito dentro da solução.
Questão 1
Um prêmio de R$ 12.000 será dividido em proporção 2 : 3 : 5 entre A, B e C. Quanto recebe B?
- A) R$ 3.000
- B) R$ 3.600
- C) R$ 4.000
- D) R$ 2.400
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 2 + 3 + 5 = 10.
- Parte de B: (3/10) × 12.000 = R$ 3.600.
Gabarito: alternativa B.
Questão 2
Um lote de 840 livros será distribuído entre três setores em proporção 1 : 2 : 3. Quantos livros ficam com o setor C?
- A) 360
- B) 420
- C) 280
- D) 400
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 1 + 2 + 3 = 6.
- Parte de C: (3/6) × 840 = 420.
Gabarito: B.
Questão 3
Uma área de 1.500 m² será repartida em proporção 2 : 4. Qual é a área do menor lote?
- A) 600 m²
- B) 750 m²
- C) 500 m²
- D) 900 m²
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 2 + 4 = 6.
- Menor lote (peso 2): (2/6) × 1.500 = 500 m².
Gabarito: C.
Questão 4
Um bônus de R$ 9.900 será repartido em proporção 4 : 6 : 5. Quanto recebe A?
- A) R$ 1.980
- B) R$ 2.640
- C) R$ 3.300
- D) R$ 3.960
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 4 + 6 + 5 = 15.
- Parte de A: (4/15) × 9.900 = R$ 2.640.
Gabarito: B.
Questão 5
Uma verba de R$ 7.200 será dividida entre três cursos proporcionalmente ao número de inscritos 40 : 25 : 15. Quanto recebe o curso com 25 inscritos?
- A) R$ 1.800
- B) R$ 2.250
- C) R$ 2.400
- D) R$ 2.600
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 40 + 25 + 15 = 80.
- Parte do curso (25): (25/80) × 7.200 = R$ 2.250.
Gabarito: B.
Questão 6
O tempo de laboratório (36 h) será distribuído entre quatro grupos em proporção 3 : 5 : 7 : 9. Quantas horas terá o grupo 7?
- A) 9 h
- B) 10 h
- C) 10 h 30 min
- D) 12 h
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 3 + 5 + 7 + 9 = 24.
- Grupo com peso 7: (7/24) × 36 = 10,5 h = 10 h 30 min.
Gabarito: C.
Questão 7
Recursos de R$ 18.000 serão repassados a três escolas proporcionalmente aos índices 5, 6 e 9. Quanto recebe a escola com índice 6?
- A) R$ 3.600
- B) R$ 4.500
- C) R$ 5.400
- D) R$ 6.000
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 5 + 6 + 9 = 20.
- Escola (6): (6/20) × 18.000 = R$ 5.400.
Gabarito: C.
Questão 8
360 kits serão distribuídos a turmas com 12, 18 e 30 alunos. Quantos kits recebe a turma de 18 alunos?
- A) 72
- B) 90
- C) 108
- D) 180
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 12 + 18 + 30 = 60.
- Turma de 18: (18/60) × 360 = 108.
Gabarito: C.
Questão 9
Um prêmio de R$ 5.400 será dividido entre quatro equipes com pontuações 8 : 10 : 12 : 15. Quanto recebe a equipe 10?
- A) 900
- B) 1.080
- C) 1.200
- D) 1.500
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 8 + 10 + 12 + 15 = 45.
- Equipe 10: (10/45) × 5.400 = 1.200.
Gabarito: C.
Questão 10
Uma campanha repartirá R$ 25.000 entre Site, Instagram e YouTube, em proporção 4 : 7 : 9. Quanto vai para o YouTube?
- A) 8.750
- B) 9.500
- C) 11.250
- D) 12.500
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 4 + 7 + 9 = 20.
- YouTube: (9/20) × 25.000 = 11.250.
Gabarito: C.
Questão 11
Alocam-se 48 máquinas-hora para três linhas de produção em proporção 2 : 3 : 3. Quantas horas ficam para a linha 1?
- A) 10
- B) 12
- C) 14
- D) 18
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 2 + 3 + 3 = 8.
- Linha 1: (2/8) × 48 = 12.
Gabarito: B.
Questão 12
Uma doação de 3.500 kg de alimentos será dividida entre dois abrigos A e B em proporção 2 : 5. Quantos quilos recebe A?
- A) 900 kg
- B) 1.000 kg
- C) 1.200 kg
- D) 1.500 kg
👀 Ver solução
- Soma dos pesos: 2 + 5 = 7.
- A: (2/7) × 3.500 = 1.000 kg.
Gabarito: B.
