Exercício de PG alternante: produto dos 19 primeiros termos
Questão de progressão geométrica (sequência geométrica) com razão negativa (caso alternante). Revise: definição de PG, classificação (alternante), propriedades e produto dos n primeiros termos.
Enunciado
O produto dos \(19\) termos iniciais de uma P.G. alternante, na qual o \(10^\circ\) termo é \(2\), vale:
- \(2^{19}\)
- \(-2^{19}\)
- \(2^{9}\)
- \(-2^{9}\)
- \(2\)
Ideia-chave (propriedade útil): em uma PG, quando o número de termos é ímpar, o produto dos \(n\) primeiros termos é igual ao termo central elevado a \(n\): \[ P_n=a_1a_2\cdots a_n=\big(a_{\,\frac{n+1}{2}}\big)^{\,n}. \] Isso ocorre porque os termos equidistantes do centro multiplicam-se sempre no mesmo valor (o quadrado do termo central).
No nosso caso, \(n=19\Rightarrow\) termo central é \(a_{10}\). Logo, \[ P_{19}=(a_{10})^{19}=2^{19}. \] Observe que, embora a PG seja alternante (\(q<0\)), o termo central é positivo (\(a_{10}=2\)), de modo que o produto é positivo.
Alternativa correta: A) \(2^{19}\).
