Função modular (valor absoluto) — guia completo
A função modular associa a cada número real a sua distância até a origem na reta real. É o famoso valor absoluto. O tema aparece junto de inequações, sinal da função e transformações do gráfico do 1º grau.
Definição e forma por partes
- Domínio: \(D(|x|)=\mathbb{R}\).
- Imagem: \([0,\infty)\).
- Paridade: função par (\(|-x|=|x|\)).
- Zero: único em \(x=0\) (vértice).
Gráfico de \(y=|x|\): “V” por reflexão
Para construir o gráfico, desenhe \(y=x\) e reflicta a parte abaixo do eixo \(x\) para cima. O vértice fica em \((0,0)\) e as semirretas têm inclinação \(+1\) e \(-1\) (veja coeficiente angular).
Forma geral \(y=|ax+b|\)
O gráfico é a reta \(y=ax+b\) “dobrada” para cima. Pontos-chave:
- Vértice em \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) (zero da reta). A ordenada do vértice é \(0\).
- Para \(x\) tais que \(ax+b\ge0\), vale \(y=ax+b\); para \(ax+b<0\), vale \(y=-(ax+b)\).
- Translações e dilatações: \(y=|x-h|+k\) desloca o vértice para \((h,k)\).
Equações e inequações com módulo
Equações
Ex.: \(|2x-3|=5 \Rightarrow 2x-3=5\ \text{ou}\ 2x-3=-5 \Rightarrow x=4\ \text{ou}\ x=-1.\)
Inequações
Quando \(A\) é uma expressão afim, caímos em inequações do 1º grau ou, se houver frações, em inequações quociente.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — gráfico de \(y=|x-2|\). Construa o gráfico e informe domínio e imagem.
Ver solução
É \(y=|x-2|=|(x-2)|\): vértice em \((2,0)\). Para \(x\ge2\), \(y=x-2\); para \(x<2\), \(y=-(x-2)=2-x\). Domínio \(\mathbb{R}\); imagem \([0,\infty)\).
Exemplo 2 — resolver \(|3x+6|\le 9\).
Ver solução
\(-9\le 3x+6\le 9 \Rightarrow -15\le 3x\le 3 \Rightarrow -5\le x\le 1\). Intervalo \([-5,1]\).
Exemplo 3 — resolver \(|2x-1|>3\).
Ver solução
\(2x-1>3\) ou \(2x-1<-3\Rightarrow x>2\) ou \(x<-1\). Solução: \((-\infty,-1)\cup(2,\infty)\).
Exemplo 4 — interseção com reta. Encontre os pontos de interseção entre \(y=|x|\) e \(y=2-x\).
Ver solução
Resolva \(|x|=2-x\). Caso \(x\ge0\): \(x=2-x\Rightarrow x=1\). Caso \(x<0\): \(-x=2-x\Rightarrow 0=2\) (sem solução). Logo, único ponto \((1,1)\). Relacione com interseção de retas.
Erros comuns
- Esquecer a definição por partes ao resolver; sempre separe casos \(ax+b\ge0\) e \(ax+b<0\).
- Incluir pontos fora do domínio quando há quocientes: trate restrições antes (veja quociente).
- Confundir “subir/descer” com sinal: o módulo nunca fica negativo, mas pode ser decrescente à esquerda do vértice (revisite crescente e decrescente).
Exercícios propostos (com gabarito)
1) Construa o gráfico de \(y=|x+3|-2\) e identifique o vértice.
Gabarito
Vértice em \((-3,-2)\). É o “V” de \(y=|x|\) transladado 3 à esquerda e 2 para baixo.
2) Resolva \(|x-4|=|2x-1|\).
Gabarito
Quadrando ambos os lados (ou abrindo por casos): \((x-4)^2=(2x-1)^2 \Rightarrow x= \dfrac{5}{3}\ \text{ou}\ x= -3\).
3) Determine \(x\) tal que \(|5-2x|\ge 7\).
Gabarito
\(5-2x\ge7\Rightarrow x\le -1\) ou \(5-2x\le -7\Rightarrow x\ge 6\). Solução: \((-\infty,-1]\cup[6,\infty)\).
4) Para \(f(x)=|2x+1|\), ache o conjunto de \(x\) onde \(f(x)<3\).
Gabarito
\(|2x+1|<3 \Rightarrow -3<2x+1<3 \Rightarrow -2<2x<2 \Rightarrow -1<x<1\).
5) Encontre os zeros de \(y=|ax+b|\) (com \(a\ne0\)).
Gabarito
O único zero ocorre quando \(ax+b=0\Rightarrow x_0=-\dfrac{b}{a}\), que coincide com o vértice no eixo \(x\).
