Função Quadrática: tudo sobre a parábola \(f(x)=ax^2+bx+c\)

A função quadrática modela trajetórias, áreas máximas, lucros ótimos e muito mais. Este guia reúne as técnicas essenciais (formas algébricas, sinal, inequações, interseções) com exemplos passo a passo. Para revisar ideias de reta, veja função afim, coeficiente angular e coeficiente linear.

1) Formas da função

Forma geral

Forma canônica (do vértice)

Obtemos por completar quadrados (veja o Exemplo 1 com as contas uma embaixo da outra).

Forma fatorada

Útil para inequações produto e estudo do sinal. Se não houver raízes reais, essa forma não existe em \(\mathbb{R}\).

2) Parâmetros e efeitos

• \(a\): concavidade. \(a>0\) (abre para cima, mínimo); \(a<0\) (abre para baixo, máximo). \(|a|\) controla a abertura.
• \(b\): desloca o vértice no eixo \(x\) (via \(x_v=-\tfrac{b}{2a}\)).
• \(c\): intercepto em \(y\) (ponto \((0,c)\)).

3) Discriminante, raízes e Viète

• \(\Delta>0\): duas raízes reais distintas.
• \(\Delta=0\): raiz real dupla (tangência ao eixo \(x\)).
• \(\Delta<0\): sem raízes reais.
• Viète (se \(x_1,x_2\) reais/complexas): \(x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}\), \(x_1x_2=\tfrac{c}{a}\).

4) Gráfico da parábola

• Vértice \((x_v,y_v)\) e eixo de simetria \(x=x_v\).
• Interseções: com \(y\) em \((0,c)\); com \(x\) nas raízes (se existirem).
• Domínio \(=\mathbb{R}\); imagem \([y_v,\infty)\) se \(a>0\) ou \((-\infty,y_v]\) se \(a<0\).
• Monotonia: para \(a>0\), decresce em \((-\infty,x_v]\) e cresce em \([x_v,\infty)\) (inverte se \(a<0\)).

5) Como construir o gráfico (guia rápido)

1. Calcule \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_v=f(x_v)\).
2. Marque \((0,c)\) e, se houver, as raízes reais.
3. Use simetria em torno de \(x=x_v\) para obter pontos pares.
4. Esboce a concavidade de acordo com o sinal de \(a\).

Reforço: coeficiente angular e coeficiente linear ajudam na leitura de retas ao estudar interseções.

6) Transformações de \(y=a(x-h)^2+k\)

• \(h\): desloca o vértice no eixo \(x\); \(k\): desloca no eixo \(y\).
• Sinal de \(a\): reflexão vertical (para baixo quando \(a<0\)).
• \(|a|\): abertura (estreita/achatada).

7) Três jeitos de resolver equações quadráticas

1. Fatoração (quando possível).
2. Completar quadrados (gera a forma canônica e a fórmula geral).
3. Bhaskara (universal).

8) Inequações quadráticas

Use estudo do sinal com quadro dos intervalos. Para prática, consulte inequações produto e inequações quociente.

9) Interseções e sistemas

• Reta × parábola: substitua \(y=mx+n\) em \(ax^2+bx+c\) → equação do 2º grau; o \(\Delta\) indica 0/1/2 interseções. Dica rápida para \(x^2=mx+k\): \(\Delta=m^2+4k\).
• Condição de tangência: \(\Delta=0\).

10) Máximo e mínimo (otimização)

Como \(f(x)=a(x-x_v)^2+y_v\), o extremo está no vértice: mínimo se \(a>0\), máximo se \(a<0\). Aplicações: lucro máximo, área máxima, altura máxima em \(h(t)=at^2+bt+c\).

11) Parâbola na Geometria Analítica (extra)

Definição por foco e diretriz: conjunto dos pontos equidistantes. A forma canônica (após translações) é \(y=\dfrac{1}{4p}x^2\).

12) Análise paramétrica (corrigido)

• Fixos \(a\) e \(c\), variando \(b\): os vértices \((x_v,y_v)\) satisfazem \[ \begin{aligned} x_v &= -\frac{b}{2a}\\ y_v &= c - a x_v^2 \end{aligned} \] Logo, o lugar geométrico é a parábola \(y=c-a x^2\) (eixo no eixo \(y\)).
• Fixos \(a\) e \(b\), variando \(c\): a parábola sobe/desce; o vértice translada verticalmente (pois \(y_v=-\tfrac{\Delta}{4a}\) depende linearmente de \(c\)).

13) Erros comuns

• Confundir o sinal de \(a\) com a posição do vértice.
• Esquecer que a imagem depende de \(y_v\) e do sinal de \(a\).
• Usar Bhaskara sem checar \(\Delta\) ou ignorar fatorações simples.
• Trocar soma/produto de Viète.

14) Exemplos resolvidos (com as contas uma embaixo da outra)

Exemplo 1 — Completar quadrados (forma canônica). Escreva \(f(x)=2x^2-8x+5\) na forma \(a(x-x_v)^2+y_v\).

Exemplo 2 — Raízes e vértice por \(\Delta\). Para \(g(x)=-x^2+6x-8\), encontre as raízes e o vértice.

Exemplo 3 — Inequação quadrática. Resolva \(x^2-5x+6\le0\).

Exemplo 4 — Reta tangente à parábola (corrigido). Existe \(m\) tal que \(y=mx+1\) seja tangente a \(y=x^2\)?

Exemplo 5 — Otimização (máximo de área). Um retângulo de perímetro \(40\) tem \(A(x)=x(20-x)\). Qual a área máxima?

15) Exercícios propostos (com gabarito e contas em coluna)

1) Esboce \(f(x)=x^2-4x+1\). Informe \(x_v\), \(y_v\) e a imagem.

2) Resolva \(2x^2-3x-2=0\) por fatoração.

3) Para \(h(x)=-(x-1)^2+9\), calcule o máximo e onde ocorre.

4) Encontre \(k\) para que \(y=x^2+kx+9\) tenha \(\Delta=0\).

5) Resolva \(-x^2+6x-5\ge0\).

16) Materiais de apoio (links internos)

17) Ferramentas para estudar (produtos do blog)

• Mapas Mentais de Matemática
• ENEM Matemática
• Coleção com 10 eBooks
• Banco de Questões
• eBook Fórmulas de Matemática

18) Resumo (cheatsheet)

19) Glossário

Parábola: gráfico de uma quadrática. Vértice: ponto de máximo/mínimo. Eixo de simetria: reta vertical pelo vértice. Discriminante: \(\Delta=b^2-4ac\). Raiz dupla: quando \(\Delta=0\).