Gráfico de uma Função Logarítmica
A função logarítmica é o inverso da exponencial e depende da base \(a\) (com \(a>0\) e \(a\neq 1\)). Escrevemos:
\( \displaystyle f(x)=\log_a x \quad (x>0) \)
- Domínio: \( (0,\infty) \)
- Imagem: \( \mathbb{R} \)
- Assíntota vertical: \( x=0 \)
- Ponto fixo: \( (1,0) \) pois \( \log_a 1=0 \)
1) Caso \(a>1\): gráfico crescente
Se a base é maior do que 1, \( \log_a x \) é crescente. O gráfico passa por \( (1,0) \) e \( (a,1) \) e se aproxima do eixo \(y\) sem tocá-lo.
Exemplo: \( f(x)=\log_2 x \)
Pontos fáceis: \( (1,0),\ (2,1),\ (4,2) \). A curva cresce lentamente e tem concavidade voltada para baixo.
2) Caso 0 < a < 1: gráfico decrescente
Quando a base é fracionária, \( \log_a x \) é decrescente. Ainda passa por \( (1,0) \) e \( (a,1) \), mas os valores diminuem conforme \(x\) cresce.
Exemplo: \( g(x)=\log_{\tfrac12} x \)
Pontos fáceis: \( (1,0),\ \left(\tfrac12,1\right),\ (2,-1) \). A curva desce e mantém a assíntota em \(x=0\).
3) Relação com a exponencial
Se \( h(x)=a^x \), então \( h^{-1}(x)=\log_a x \). Os gráficos são simétricos em relação à reta \( y=x \) (bissetriz).
💡 Dica: ao esboçar o gráfico, marque sempre \( (1,0) \) e \( (a,1) \); use a assíntota \( x=0 \) e escolha mais um ponto, como \( (a^2,2) \) ou \( \left(\tfrac1a,-1\right) \).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Encontre \( f(8) \) e \( f\!\left(\tfrac{1}{8}\right) \) para \( f(x)=\log_2 x \).
\( f(8)=\log_2 8=3 \) (pois \(2^3=8\)). \( f\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=\log_2(2^{-3})=-3 \). Os pontos \( (8,3) \) e \( \left(\tfrac{1}{8},-3\right) \) ajudam a reforçar o traçado.
Exemplo 2 — Esboce \( y=\log_{\tfrac13} x \).
Base 0
Exemplo 3 — Resolva \( \log_4(x-1)=2 \) e indique o ponto correspondente no gráfico.
Definição: \( x-1=4^2=16 \Rightarrow x=17 \) (com \(x>1\), válido). O ponto associado é \( (x,\ 2)=(17,2) \).
Exemplo 4 — Se \( g(x)=3^x \), qual é a inversa e como obter seu gráfico?
A inversa é \( g^{-1}(x)=\log_3 x \). Para obter o gráfico, reflita o de \(3^x\) em torno de \( y=x \).
Exercícios de múltipla escolha
1) Para \( a>1 \), a função \( y=\log_a x \) é:
- a) Par
- b) Ímpar
- c) Crescente
- d) Decrescente
Ver solução
Crescente. Alternativa c.
2) A assíntota vertical do gráfico de \( y=\log_a x \) (qualquer \(a>0,\ a\neq1\)) é:
- a) \(y=0\)
- b) \(x=0\)
- c) \(x=1\)
- d) \(y=1\)
Ver solução
Reta \( x=0 \). Alternativa b.
3) Qual ponto pertence a todo gráfico logarítmico \( y=\log_a x \)?
- a) \( (0,1) \)
- b) \( (1,0) \)
- c) \( (a,0) \)
- d) \( (0,a) \)
Ver solução
\( (1,0) \). Alternativa b.
4) Resolva \( \log_3(9x)=2 \).
- a) \( x=\tfrac12 \)
- b) \( x=1 \)
- c) \( x=2 \)
- d) \( x=3 \)
Ver solução
\( 9x=3^2=9 \Rightarrow x=1 \). Alternativa b.
5) Para \( y=\log_{\tfrac14} x \), a afirmação correta é:
- a) É crescente e \(D=\mathbb{R}\)
- b) É decrescente e \(D=(0,\infty)\)
- c) É crescente e \(D=(0,\infty)\)
- d) É decrescente e \(D=\mathbb{R}\)
Ver solução
Como 0 < a < 1, a função é decrescente. O domínio de qualquer log é \( (0,\infty) \). Alternativa b.
6) A solução de \( \log_{\tfrac12}(x) > 0 \) é:
- a) \( x>1 \)
- b) \( 0
- c) \( x\ge 1 \)
- d) \( x\le 0 \)
Ver solução
Para base 0 < a < 1, ao “deslogaritmar” a desigualdade o sentido inverte: \( x < (1/2)^0=1 \) e \( x>0 \). Logo 0 < a < 1. Alternativa b.
7) Considere \( y=2\,\log_5(x-3)+1 \). Assinale a correta:
- a) A assíntota é \( x=0 \)
- b) A assíntota é \( x=3 \)
- c) Translada 3 para a esquerda e 1 para baixo
- d) O gráfico é par
Ver solução
A transformação \( \log_5(x-3) \) desloca o gráfico 3 para a direita, mudando a assíntota para \( x=3 \). Alternativa b.
Veja também
🎯 Aprofunde seus estudos com nossos materiais:
