Fechamento por complemento
Se \(A\) e \(B\) são independentes, então também o são
\(A\) e \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) e \(B\), e \(\overline{A}\) e \(\overline{B}\).
\[
\begin{aligned}
P\bigl(A \cap \overline{B}\bigr)
&= P(A) – P\bigl(A \cap B\bigr) \\[2pt]
&= P(A) – P(A)\,P(B) \\[2pt]
&= P(A)\,\bigl(1 – P(B)\bigr) \\[2pt]
&= P(A)\,P\bigl(\overline{B}\bigr).
\end{aligned}
\]
Por simetria, valem também
\(P\bigl(\overline{A}\cap B\bigr)=P(\overline{A})P(B)\) e
\(P\bigl(\overline{A}\cap \overline{B}\bigr)=P(\overline{A})P(\overline{B})\).
3) Exemplos e Contraexemplo
Exemplo 1 (independentes). Lance uma moeda honesta e um dado honesto. Defina \(A=\{\text{cara}\}\) e \(B=\{\text{número par}\}\). São independentes?
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\(P(A)=1/2\), \(P(B)=1/2\). Como os experimentos são distintos e equiprováveis, \(P(A\cap B)=1/4=P(A)P(B)\).
Logo, \(A\) e \(B\) são independentes.
Exemplo 2 (dependentes — sem reposição). Urna com 5 vermelhas e 3 azuis. Retire uma bola e, sem repor, retire outra.
Seja \(A=\{\text{1ª vermelha}\}\) e \(B=\{\text{2ª vermelha}\}\). São independentes?
Ver solução
\(P(A)=5/8\). \(P(B)=P(B\mid A)\,P(A)+P(B\mid \overline{A})\,P(\overline{A})=(4/7)(5/8)+(5/7)(3/8)=35/56=5/8\).
Entretanto, \(P(A\cap B)=(5/8)(4/7)=20/56\neq P(A)P(B)=25/64\). Logo,
dependentes.
Cheque parcial: \(P(B\mid A)=4/7\) e \(P(B\mid \overline{A})=5/7\).
Exemplo 3 (com reposição → independentes). Mesma urna, mas com reposição entre as retiradas. \(A=\{\text{1ª vermelha}\}\), \(B=\{\text{2ª vermelha}\}\).
Ver solução
Com reposição: \(P(A)=5/8\), \(P(B)=5/8\) e \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=(5/8)^2\). Logo, independentes.
Contraexemplo (par a par, mas não conjunta). Escolha um número de \(\{1,2,3,4\}\) equiprovavelmente.
Defina \(A=\{\text{par}\}=\{2,4\}\), \(B=\{3,4\}\) (maiores que 2), \(C=\{1,4\}\).
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\(P(A)=P(B)=P(C)=1/2\). Interseções dois a dois: cada uma tem prob. \(1/4=P(\cdot)P(\cdot)\) ⇒ independência par a par.
Mas \(A\cap B\cap C=\{4\}\) tem prob. \(1/4\neq (1/2)^3=1/8\). Logo, não são independentes conjuntamente.
4) Exercícios Resolvidos
Exercício 1. Dois dados honestos. \(A=\{\text{soma par}\}\) e \(B=\{\text{soma}>7\}\). Verifique se \(A\) e \(B\) são independentes.
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\(|\Omega|=36\). \(|A|=18\Rightarrow P(A)=1/2\). \(|B|=15\Rightarrow P(B)=15/36=5/12\).
\(A\cap B\): somas pares e >7 ⇒ 8,10,12 com 5,3,1 casos ⇒ 9.
\(P(A\cap B)=9/36=1/4\). Produto: \(P(A)P(B)=(1/2)(5/12)=5/24\neq 1/4\).
Conclusão: dependentes.
Exercício 2. Em uma sala, \(60\%\) têm notebook (\(N\)) e \(50\%\) usam sistema X (\(X\)). Sabe-se que \(P(N\cap X)=0{,}30\).
\(N\) e \(X\) são independentes?
Ver solução
\(P(N)P(X)=0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}30 = P(N\cap X)\). Logo, independentes.
Exercício 3 (complementos). Se \(A\) e \(B\) são independentes, prove que \(A\) e \(\overline{B}\) são independentes.
Ver solução
\(P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\bigl(1-P(B)\bigr)=P(A)P(\overline{B})\). QED.
5) Lista de Exercícios (A–E)
Marque a alternativa correta. Clique para ver a solução.
Questão 1. Se \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) e \(P(A\cap B)=0{,}20\), então:
- A) \(A\) e \(B\) são independentes.
- B) \(P(A\mid B)=0{,}5\).
- C) \(P(A\mid B)=0{,}3\).
- D) \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos.
- E) \(P(B\mid A)=0{,}2\).
Ver solução
\(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}20}{0{,}5}=0{,}4=P(A)\Rightarrow\) independentes.
Logo a alternativa correta e única é A.
Questão 2. Em dois lançamentos de uma moeda honesta, \(A=\{\text{1º = cara}\}\) e \(B=\{\text{2º = cara}\}\). Então:
- A) \(P(A\cap B)=1/4\) e \(A\perp B\).
- B) \(P(A\cap B)=1/2\) e \(A\perp B\).
- C) \(P(A\cap B)=1/4\) e \(A\) e \(B\) são dependentes.
- D) \(P(A\cap B)=1/2\) e \(A\) e \(B\) são dependentes.
- E) Nenhuma das anteriores.
Ver solução
\(P(A)=P(B)=1/2\), \(P(A\cap B)=1/4=P(A)P(B)\) ⇒ independentes. Gabarito: A.
Questão 3. Se \(A\perp B\) e \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\), então \(P(\overline{A}\cap B)\) é:
- A) 0,12
- B) 0,24
- C) 0,42
- D) 0,70
- E) 0,18
Ver solução
Independência com complementos: \(P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})P(B)=(0{,}7)(0{,}6)=0{,}42\). Gabarito: C.
Questão 4. Em \(\{1,2,3,4\}\) equiprovável, defina \(A=\{2,4\}\), \(B=\{3,4\}\), \(C=\{1,4\}\).
Então:
- A) \(A,B,C\) são independentes conjuntamente.
- B) \(A,B,C\) não são independentes par a par.
- C) São independentes par a par, mas não conjuntamente.
- D) São mutuamente exclusivos.
- E) Nenhuma.
Ver solução
\(P(A)=P(B)=P(C)=1/2\); interseções dois a dois \(=1/4\) ⇒ par a par independentes.
Tripla: \(P(A\cap B\cap C)=1/4\neq 1/8\). Gabarito: C.
Questão 5. Se \(A\perp B\) e \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), então \(P(A\cup B)\) é:
- A) 0,70
- B) 0,60
- C) 0,30
- D) 0,20
- E) 0,90
Ver solução
Inclusão–exclusão com independência: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7\). Gabarito: A.
Gabarito
1) A 2) A 3) C 4) C 5) A
