Probabilidade Condicional — definição, cálculo e exemplos

GRÁTIS WHATSAPP PRODUTOS

Tudo em um só lugar para estudar mais rápido

Entre no grupo fechado do WhatsApp, baixe o eBook gratuito e acesse os produtos (mapas mentais e materiais estratégicos).

💬 Entrar no grupo do WhatsApp 📥 Baixar eBook gratuito 📄 Ver Mapas Mentais e Materiais

✅ Acesso imediato ✅ Questões comentadas no grupo ✅ Ideal para revisão rápida ✅ Conteúdo direto ao ponto

Probabilidade Condicional — definição, cálculo e exemplos

Probabilidade Condicional — Definição, Fórmulas, Exemplos e Exercícios

Entenda \(P(A\mid B)\), a regra do produto, independência, Lei Total das Probabilidades e o Teorema de Bayes.

1) O que é Probabilidade Condicional?

A probabilidade condicional mede a chance de um evento \(A\) ocorrer sabendo que outro evento \(B\) já ocorreu:

Definição

\( \displaystyle P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad\text{(com } P(B)>0\text{)} \)

Leia-se: “probabilidade de \(A\) dado \(B\)”.

Condição essencial

Para definir \(P(A\mid B)\) é necessário que \(P(B) > 0\). Se \(P(B)=0\), a condição “\(B\) ocorreu” não tem sentido probabilístico (evento impossível) e a razão \(\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) não é definida.

Regra do Produto

\( P(A\cap B) = P(A\mid B)\,P(B) = P(B\mid A)\,P(A) \)

Independência

Eventos \(A\) e \(B\) são independentes quando o conhecimento de um não altera a chance do outro:

\( P(A\mid B)=P(A) \;\;\Longleftrightarrow\;\; P(A\cap B)=P(A)\,P(B) \)

2) Lei Total das Probabilidades e Teorema de Bayes

Lei Total das Probabilidades

Se \(B_1,B_2,\ldots,B_n\) formam uma partição do espaço (\(B_i\cap B_j=\varnothing\) e \(\cup_i B_i=\Omega\)), então:

\( P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i). \)

Teorema de Bayes

\( \displaystyle P(B_k\mid A) = \frac{P(A\mid B_k)\,P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i)}. \)

3) Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 (sem reposição). Uma urna tem 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição. Qual \(P(\text{2ª vermelha} \mid \text{1ª vermelha})\)?

Ver solução

Após sair uma vermelha, restam 4 vermelhas em 7 bolas.

\(P= \dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714.\)

Exemplo 2 (baralho). Em um baralho comum, qual \(P(\text{rei} \mid \text{figura})\)?

Ver solução

Figuras = {J, Q, K} → 12 cartas; reis = 4.

\(P=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333.\)

Exemplo 3 (tabela de contingência). Em 120 alunos, 70 gostam de Matemática (\(M\)), 50 de Física (\(F\)) e 30 de ambos. Qual \(P(M\mid F)\)?

Ver solução

\(P(M\mid F)=\dfrac{P(M\cap F)}{P(F)}=\dfrac{30/120}{50/120}=\dfrac{30}{50}=0{,}60.\)

Exemplo 4 (dois dados). Seja \(A=\{\text{soma par}\}\) e \(B=\{\text{soma}>7\}\) ao lançar dois dados honestos. Calcule \(P(A\mid B)\).

Ver solução

\(|\Omega|=36\). \(B\): somas \(8,9,10,11,12\) ⇒ contagens \(5+4+3+2+1=15\) resultados. \(A\cap B\): somas pares e >7 ⇒ \(8,10,12\) com \(5,3,1\) casos, totalizando \(9\).

\(P(A\mid B)=\dfrac{9/36}{15/36}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=0{,}6.\)

Exemplo 5 (Bayes — teste diagnóstico). Prevalência da doença: \(2\%\). Sensibilidade: \(95\%\) \((P(+\mid D)=0{,}95)\). Falso positivo: \(1\%\) \((P(+\mid \overline{D})=0{,}01)\). Qual \(P(D\mid +)\)?

Ver solução

\(P(D\mid +)=\dfrac{0{,}95\cdot 0{,}02}{0{,}95\cdot 0{,}02 + 0{,}01\cdot 0{,}98} = \dfrac{0{,}019}{0{,}0288} \approx 0{,}6597 \) (≈ 66%).

4) Lista de Exercícios (A–E)

Marque a alternativa correta. Clique para ver a solução.

Questão 1. Em um baralho comum, qual \(P(\text{carta vermelha} \mid \text{figura})\)? (Considere figura = J, Q, K, sem Ás.)

A) \( \dfrac{1}{4} \)
B) \( \dfrac{1}{3} \)
C) \( \dfrac{1}{2} \)
D) \( \dfrac{2}{3} \)
E) \( \dfrac{3}{4} \)

Ver solução

Entre as 12 figuras, 6 são vermelhas (copas/ouros). \(P=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\). Gabarito: C.

Questão 2. Urna com 7 vermelhas e 5 azuis. Retira-se uma bola azul e sem reposição retira-se outra. Qual \(P(\text{2ª azul} \mid \text{1ª azul})\)?

A) \( \dfrac{5}{12} \)
B) \( \dfrac{2}{5} \)
C) \( \dfrac{4}{11} \)
D) \( \dfrac{1}{3} \)
E) \( \dfrac{1}{2} \)

Ver solução

Depois da 1ª azul: restam 4 azuis em 11 bolas. \(P=\dfrac{4}{11}\approx 0{,}3636\). Gabarito: C.

Questão 3. Dois dados honestos. Qual \(P(\text{soma}=10 \mid \text{1º dado}=6)\)?

A) \( \dfrac{1}{12} \)
B) \( \dfrac{1}{6} \)
C) \( \dfrac{1}{4} \)
D) \( \dfrac{1}{3} \)
E) \( \dfrac{1}{2} \)

Ver solução

Com 1º=6, há 6 possibilidades igualmente prováveis para o 2º; somente (6,4) soma 10 → \(1/6\). Gabarito: B.

Questão 4. Em 200 clientes, 140 compram X, 110 compram Y e 70 compram ambos. Qual \(P(X\mid Y)\)?

A) \( \dfrac{7}{11} \)
B) \( \dfrac{2}{3} \)
C) \( \dfrac{1}{2} \)
D) \( \dfrac{3}{5} \)
E) \( \dfrac{5}{7} \)

Ver solução

\(P(X\mid Y)=\dfrac{70/200}{110/200}=\dfrac{70}{110}=\dfrac{7}{11}\approx 0{,}636\). Gabarito: A.

Questão 5. Se \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) e \(P(A\mid B)=0{,}4\), então:

A) \(A\) e \(B\) são independentes.
B) \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos.
C) \(P(A\cap B)=0{,}9\).
D) \(P(A\cap B)=0{,}4\).
E) Nenhuma das anteriores.

Ver solução

\(P(A\mid B)=P(A)\Rightarrow\) independência. Logo **A** é verdadeira. (Cheque: \(P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=0{,}4\cdot 0{,}5=0{,}20\).)

Questão 6. Urna com 3 brancas e 2 pretas. Sem reposição. Qual \(P(\text{2ª preta} \mid \text{1ª branca})\)?

A) \( \dfrac{2}{5} \)
B) \( \dfrac{1}{2} \)
C) \( \dfrac{2}{4} \)
D) \( \dfrac{3}{5} \)
E) \( \dfrac{1}{3} \)

Ver solução

Após retirar 1 branca, ficam 2 pretas em 4 bolas: \(2/4=1/2\). Gabarito: B.

Questão 7 (Bayes). Fábrica com 2 máquinas: \(P(M_1)=0{,}6\), \(P(M_2)=0{,}4\). Qualidade: \(P(G\mid M_1)=0{,}90\), \(P(G\mid M_2)=0{,}95\). Se uma peça é boa (\(G\)), qual \(P(M_2\mid G)\)?

A) 0,32
B) 0,38
C) 0,41
D) 0,46
E) 0,50

Ver solução

\(P(G)=0{,}9\cdot0{,}6+0{,}95\cdot0{,}4=0{,}92\). \(P(M_2\mid G)=\dfrac{0{,}95\cdot0{,}4}{0{,}92}\approx 0{,}413\). Gabarito: C.

Questão 8. Dois eventos com \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\) e \(P(A\cap B)=0{,}18\). Calcule \(P(A\mid B)\).

A) 0,18
B) 0,30
C) 0,36
D) 0,50
E) 0,60

Ver solução

\(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}18}{0{,}6}=0{,}30\). Gabarito: B.

Gabarito

1) C 2) C 3) B 4) A 5) A 6) B 7) C 8) B

📚 Produtos e Materiais Exclusivos do Blog

Aprofunde seus estudos e acelere sua preparação:

Conclusão

Probabilidade condicional conecta eventos e permite atualizar crenças com novas informações. Revise os fundamentos em Probabilidade, aproxime teoria e prática com a Frequência Relativa, certifique-se dos eventos envolvidos, identifique quando o espaço é equiprovável e combine operações em união/interseção/complemento.

GRUPO GRATUITO

Receba questões de matemática todos os dias

Participe do grupo fechado do WhatsApp e tenha acesso a 1 a 3 questões estratégicas por dia, com resolução comentada e foco em ENEM e concursos.

💬 Entrar no grupo agora

✅ 100% gratuito ✅ Conteúdo direto ao ponto ✅ Ideal para revisão ✅ Método focado em prova

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

MAPAS MENTAIS

Matemática em Mapas Mentais

Visual • organizado • fácil de memorizar

ACESSAR AGORA →

Ideal para revisão • provas • concursos

COLEÇÃO COMPLETA

10 eBooks de Matemática

Resumos • exercícios • revisões rápidas para estudar melhor

VER OS 10 EBOOKS →

Conteúdo organizado • ideal para provas e concursos

CURSO COMPLETO

Matemática Básica: do Zero à Confiança

Aprenda do início, sem travar • aulas práticas • exercícios resolvidos

CONHECER O CURSO →

Ideal para iniciantes • ENEM • concursos • reforço escolar

Nos ajude compartilhando esse post 😉