Propriedade Fundamental dos Logaritmos
A identidade \(a^{\log_a x}=x\) (com \(a>0\), \(a\neq1\) e \(x>0\)) expressa a inversão perfeita entre as funções exponencial e logarítmica. Ela é onipresente em simplificações, mudanças de base e resolução de equações logarítmicas e exponenciais.
Enunciado
\( \displaystyle a^{\log_a x}=x \quad\) e, de forma equivalente, \( \displaystyle \log_a(a^{\,t})=t \).
- Base do logaritmo: \(a>0\) e \(a\neq1\)
- Logaritmando positivo: \(x>0\)
- Para \(\log_a(a^t)=t\), não há restrição adicional em \(t\) (pode ser real qualquer).
Por que funciona? (demonstração curta)
Seja \(y=\log_a x\). Pela definição de logaritmo, \(a^{y}=x\). Substituindo: \[ a^{\log_a x}=a^{y}=x. \] O recíproco também vale: se \(y=a^t\), então \(\log_a(a^t)=t\).
Relações úteis
- Composição inversa: \(a^{\log_a(\,\cdot\,)}\) e \(\log_a(a^{\,\cdot\,})\) se “cancelam”.
- Com outras propriedades: pode ser combinada com produto, quociente, potência e mudança de base para simplificar expressões.
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Simplifique \( 2^{\log_{2} 7} \).
Pela propriedade fundamental, \(2^{\log_2 7}=\boxed{7}\).
Exemplo 2 — Calcule \( \log_{5}\!\big(5^{\,3.2}\big) \).
Aplicando a identidade inversa: \(\log_{5}(5^{3.2})=\boxed{3.2}\).
Exemplo 3 — Simplifique \( a^{\log_a(x^2y)} \) (com \(x,y>0\)).
Primeiro use produto: \(\log_a(x^2y)=\log_a x^2+\log_a y=2\log_a x+\log_a y\). Em seguida, pela propriedade fundamental: \(a^{\log_a(x^2y)}=\boxed{x^2y}\).
Exemplo 4 — Resolva \( 3^{\log_{3}(x-1)}=8 \).
Pela propriedade fundamental: \(3^{\log_3(x-1)}=x-1\). Logo \(x-1=8 \Rightarrow \boxed{x=9}\). Domínio: \(x-1>0 \Rightarrow x>1\) (satisfeito).
Exemplo 5 — Mostre que \( a^{\log_a b}\cdot b^{\log_b c}\cdot c^{\log_c a}=abc \).
Cada fator vira o logaritmando: \(a^{\log_a b}=b\), \(b^{\log_b c}=c\), \(c^{\log_c a}=a\). Multiplicando: \(b\cdot c\cdot a=\boxed{abc}\).
Exercícios de múltipla escolha
Use \(a^{\log_a x}=x\) e \(\log_a(a^{t})=t\) (com as condições de existência).
1) \( 10^{\log_{10} 0{,}25}=\)
- a) \(4\)
- b) \(0{,}25\)
- c) \( \log_{10} 4\)
- d) \( \dfrac{1}{\log_{10}4}\)
Ver resposta
b) Pela propriedade fundamental, \(10^{\log_{10}0{,}25}=\boxed{0{,}25}\).
2) \( \log_{7}\!\big(7^{\,\sqrt{5}}\big)= \)
- a) \(5\)
- b) \(\sqrt{5}\)
- c) \(7\)
- d) \( \dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
Ver resposta
b) \(\log_7(7^{\sqrt{5}})=\boxed{\sqrt{5}}\).
3) Para \(x>0\), simplifique \( 5^{\log_{5}(\sqrt{x})} \).
- a) \(x\)
- b) \(\sqrt{x}\)
- c) \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
- d) \( \log_{5} x\)
Ver resposta
b) \(5^{\log_5(\sqrt{x})}=\boxed{\sqrt{x}}\). fundamental
4) Resolva \( 2^{\log_{2}(x+3)}=5 \).
- a) \(x=2\)
- b) \(x=5\)
- c) \(x= \sqrt{5}-3\)
- d) \(x=2\)
Ver resposta
a) \(2^{\log_2(x+3)}=x+3=5\Rightarrow \boxed{x=2}\). (Domínio: \(x>-3\)).
5) Se \(a>1\) e \(b>0\), então \( a^{\log_a b^3} \) é igual a:
- a) \(3\log_a b\)
- b) \(b\)
- c) \(b^3\)
- d) \( \log_a (b^3)\)
Ver resposta
c) Primeiro \(\log_a b^3=3\log_a b\); depois pela propriedade, \(a^{\log_a(b^3)}=\boxed{b^3}\).
6) Simplifique \( 3^{\,\log_{3}(2x) – \log_{3} 2 } \) (com \(x>0\)).
- a) \(x\)
- b) \(2x\)
- c) \( \dfrac{x}{2}\)
- d) \( \log_{3} x\)
Ver resposta
Usando quociente: \(\log_3(2x)-\log_3 2=\log_3\!\left(\dfrac{2x}{2}\right)=\log_3 x\). Então \(3^{\log_3 x}=\boxed{x}\). Alternativa (a).
7) Determine \(x\) tal que \( \log_{4}(4^{x}) – 2^{\log_2 x}=0 \) (com \(x>0\)).
- a) \(x=1\)
- b) \(x=2\)
- c) \(x=4\)
- d) \(x=16\)
Ver resposta
\(\log_4(4^x)=x\) e \(2^{\log_2 x}=x\). Logo a equação vira \(x-x=0\), que é verdadeira para todo \(x>0\). Entre as alternativas, qualquer positiva serve; escolha a mais direta: \(\boxed{x=1}\) (a).
8) (ENEM-like) O valor de \( 9^{\log_{9} 3} + 3^{\log_{3} 9} \) é:
- a) \(6\)
- b) \(12\)
- c) \(3+9\)
- d) \(3+9=12\)
Ver resposta
\(9^{\log_9 3}=3\) e \(3^{\log_3 9}=9\). Soma: \(\boxed{12}\). Alternativa (b)/(d) — conforme opções.
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