Regra de Alligation
O que é a Regra de Alligation?
A Regra de Alligation é um método rápido para problemas de misturas em que combinamos itens com diferentes “forças” (concentração %, teor, preço por unidade, grau alcoólico etc.) para obter uma mistura final com força desejada. Existem duas versões principais:
- Alligation Medial: calcula a força média de uma mistura conhecida pelas quantidades e forças dos componentes.
- Alligation Alternada: determina as proporções (ou quantidades) de dois (ou mais) componentes para atingir uma força-alvo.
Unidades: deixe tudo padronizado (ex.: %(m/m), %(m/v), %(v/v) ou preço por kg/L). Se houver densidades, converta antes.
Alligation Medial (média ponderada)
Se misturamos quantidades \(q_i\) com forças \(f_i\), a força resultante é \[ f_{\text{mix}}=\frac{\sum q_i f_i}{\sum q_i}. \]
Ex.: \(3\text{ L a 20\%}\) com \(2\text{ L a 35\%}\): \(f=(3\cdot20+2\cdot35)/5=26\%\).
Alligation Alternada (diagrama cruzado)
Para duas forças \(f_A A ideia: quanto mais distante do alvo, mais dessa parte você precisa para compensar.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Alternada: 20% e 50% para obter 30%
Enunciado: Em que proporção misturar soluções de 20% e 50% para obter 30%?
👀 Ver solução
- Use diferenças: \(50-30=20\) e \(30-20=10\).
- Proporção \(20\%:50\% = 20:10 = 2:1\).
- Ex.: a cada 2 L de 20%, use 1 L de 50%.
Resposta: 2 : 1 (20% : 50%).
Exemplo 2 — Água e solução a 40% para obter 25%
Enunciado: Produzir 10 L de solução 25% misturando água (0%) e solução 40%. Quanto de cada?
👀 Ver solução
- Proporção água:40% \(=(40-25):(25-0)=15:25=3:5\).
- Total de partes \(=8\). Água \(=10\times 3/8=\) 3,75 L; 40% \(=10\times 5/8=\) 6,25 L.
Exemplo 3 — Medial: teor resultante
Enunciado: Misturam-se 3 L a 20% com 2 L a 35%. Qual o teor da mistura?
👀 Ver solução
- Teor \(=(3\cdot 20 + 2\cdot 35)/(3+2)=\) 26%.
Exemplo 4 — Preço médio de grãos
Enunciado: Quantos kg de arroz a R$ 8/kg devem ser misturados com arroz a R$ 14/kg para vender a R$ 11/kg?
👀 Ver solução
- Proporção barato:caro \(=(14-11):(11-8)=3:3=1:1\).
- Qualquer mistura em partes iguais atinge o preço médio de R$ 11/kg.
Resposta: 1 : 1.
Exemplo 5 — Encontrar quantidade desconhecida
Enunciado: Deseja-se 24 L de solução 30% misturando água (0%) e solução 60%. Determine os volumes.
👀 Ver solução
- Proporção água:60% \(=(60-30):(30-0)=30:30=1:1\).
- Logo, são 12 L de água e 12 L da solução a 60%.
Resumo de fórmulas e passos
| Método | Fórmula/Regra | Quando usar |
|---|---|---|
| Medial | \(f_{\text{mix}}=\frac{\sum q_i f_i}{\sum q_i}\) | Concentração/Preço da mistura final quando você já conhece \(q_i\) e \(f_i\). |
| Alternada (2 fontes) | \(A:B=(f_B-f_T):(f_T-f_A)\) | Encontrar proporções para atingir \(f_T\) com duas forças \(f_A |
| Com volume-alvo \(Q\) | Multiplique a razão por \(Q/(\text{soma das partes})\) | Obter quantidades absolutas de cada componente. |
Se houver três ou mais fontes, combine em pares ou fixe uma delas e aplique a alternada entre as restantes.
Exercícios propostos
Clique para abrir a solução após cada enunciado.
Exercício 1 — Proporção para 30% (15% e 45%)
Enunciado: Em que razão misturar soluções 15% e 45% para obter 30%?
Ver solução
- \(45-30=15\) e \(30-15=15\) ⟹ razão \(15:15=1:1\).
Resposta: 1 : 1.
Exercício 2 — Volume-alvo 12 L (10% e 40% → 25%)
Enunciado: Obter 12 L a 25% com soluções 10% e 40%. Quanto de cada?
Ver solução
- Razão \(=(40-25):(25-10)=15:15=1:1\).
- Partes iguais: \(12/2=6\ \text{L}\) de cada.
Resposta: 6 L de 10% e 6 L de 40%.
Exercício 3 — Água + 60% → 30% (24 L)
Enunciado: Produzir 24 L a 30% usando água (0%) e solução 60%.
Ver solução
- Razão \(=(60-30):(30-0)=30:30=1:1\).
- \(24\ \text{L}\) ⇒ \(12\ \text{L}\) de cada.
Resposta: 12 L de água e 12 L de 60%.
Exercício 4 — Preços: R$ 8/kg e R$ 14/kg → R$ 11/kg
Enunciado: Em que proporção misturar para vender a R$ 11/kg?
Ver solução
- Razão barato:caro \(=(14-11):(11-8)=3:3=1:1\).
Resposta: 1 : 1.
Exercício 5 — Medial com incógnita
Enunciado: Misturam-se 5 L a 12% com \(x\) L a 30% para obter 24%. Encontre \(x\).
Ver solução
- \((5\cdot 12 + x\cdot 30)/(5+x)=24\).
- \(60+30x=120+24x\Rightarrow 6x=60\Rightarrow x=\) 10 L.
Exercício 6 — Volume total 20 L
Enunciado: Deseja-se 20 L a 18% a partir de 12% e 30%. Calcule os volumes.
Ver solução
- Razão \(12\%:30\%=(30-18):(18-12)=12:6=2:1\).
- Soma das partes = 3. Escale para 20 L: \(20\times(2/3)=\) 13,33 L de 12% e \(20\times(1/3)=\) 6,67 L de 30% (aprox.).
Erros comuns (e como evitar)
- Esquecer que as diferenças ficam “em cruz”: na alternada, a quantidade de cada fonte é proporcional à diferença da outra para o alvo.
- Alvo fora do intervalo: para duas fontes, é necessário \(f_A \le f_T \le f_B\). Caso contrário, ajuste as fontes.
- Unidades mistas: padronize %(m/m), %(m/v), %(v/v) ou preço/kg antes de calcular.
- Arredondar cedo: arredonde apenas no final, especialmente em volumes-alvo.
Conexões úteis
Reforce sua base em Razão e Proporção, treine com Regra de Três Simples e Regra de Três Composta. Compare com Divisão Proporcional e revise Grandezas Inversamente Proporcionais.
Materiais recomendados
Resumo final (para memorização)
- Medial: média ponderada \(f_{\text{mix}}=\frac{\sum q_i f_i}{\sum q_i}\).
- Alternada: \(A:B=(f_B-f_T):(f_T-f_A)\) (diferenças em cruz).
- Volumes: escale a razão para o volume-alvo.
- Checagem: faça a conta reversa (média ou regra de três) para validar.
