Sistemas lineares 2 × 2
Os sistemas lineares 2×2 são o laboratório perfeito para dominar técnicas como substituição, adição/eliminação e determinante (Regra de Cramer). Aqui você aprende quando cada método é mais rápido, como classificar (SPD, SI, SPI) e pratica com exercícios. Para revisar a base, veja: equação linear, solução de um sistema linear e Gauss/escalonamento.
📘 eBook Fórmulas Matemática — tudo de 2×2 em um só lugar
Passo a passo de substituição e adição, Regra de Cramer, SPD–SI–SPI e forma paramétrica. Ideal para revisão pré-prova.
Quero o eBook Praticar no Banco de QuestõesMétodos rápidos para 2×2
- Substituição: isole uma incógnita e troque na outra equação. Melhor quando há coeficiente \(1\) ou \(-1\).
- Adição/Eliminação: torne os coeficientes de uma variável opostos e some as equações.
- Regra de Cramer: para \(\begin{cases}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{cases}\), \[ \Delta=ae-bd,\quad x=\dfrac{ce-bf}{\Delta},\quad y=\dfrac{af-cd}{\Delta}\ (\Delta\neq0). \] Se \(\Delta=0\), classifique com proporcionalidades/termos independentes (SI ou SPI).
Exemplo 1 — SPI (infinitas soluções)
\(\begin{cases}-x+3y=5\\ 3x-9y=-15\end{cases}\)
Classificar e descrever \(S\)
A 2ª é \((-3)\) vezes a 1ª, inclusive no termo independente: equações proporcionais ⇒ SPI. Da 1ª: \(x=3y-5\). Parametrizando \(y=t\): \(S=\{(3t-5,t):t\in\mathbb{R}\}\).
Exemplo 2 — SPD (adição elimina \(y\))
\(\begin{cases}3x+5y=2\\ 2x-5y=18\end{cases}\)
Resolver
Somando: \(5x=20\Rightarrow x=4\). Em \(3x+5y=2\Rightarrow 12+5y=2\Rightarrow y=-2\). Solução: \((4,-2)\).
Exemplo 3 — SPD (Regra de Cramer)
\(\begin{cases}3x+2y=11\\ 5x-2y=9\end{cases}\)
Resolver
\(\Delta=3\cdot(-2)-2\cdot5=-16\neq0\). \(x=\dfrac{11\cdot(-2)-2\cdot9}{-16}=\dfrac{-40}{-16}=2.5\), \(y=\dfrac{3\cdot9-11\cdot5}{-16}=\dfrac{-28}{-16}=\tfrac{7}{4}=1.75\). Solução: \((2.5,1.75)\).
Exemplo 4 — SI (sem solução)
\(\begin{cases}x+y=2\\ x+y=3\end{cases}\)
Classificar
Mesmos coeficientes, independentes diferentes ⇒ paralelas ⇒ SI.
Exercícios (com gabarito)
1) Resolva \(\{\, -x+3y=5,\ 3x-9y=-15 \,\}\).
Gabarito
SPI: \(S=\{(3t-5,t):t\in\mathbb{R}\}\).
2) Resolva \(\{\, 2x+5y=1,\ -4x+5y=13 \,\}\).
Gabarito
Subtraindo: \(-6x=12\Rightarrow x=-2\). Em 1ª: \(-4+5y=1\Rightarrow y=1\). \((-2,1)\).
3) Classifique \(\{\, x+y=3,\ 2x+2y=5 \,\}\).
Gabarito
Coeficientes proporcionais, termos independentes não ⇒ SI.
4) Use Cramer: \(\{\, 4x-3y=5,\ 6x+5y=31 \,\}\).
Gabarito
\(\Delta=4\cdot5-(-3)\cdot6=38\neq0\). \(x=\dfrac{5\cdot5-(-3)\cdot31}{38}=\dfrac{118}{38}=\tfrac{59}{19}\), \(y=\dfrac{4\cdot31-5\cdot6}{38}=\dfrac{94}{38}=\tfrac{47}{19}\).
5) (SPI) \(\{\, x-2y=3,\ 2x-4y=6 \,\}\) — escreva \(S\) paramétrico.
Gabarito
\(x=3+2t,\ y=t\ (t\in\mathbb{R})\).
Leia também
Conclusão
Em 2×2, escolha o caminho mais curto: substituição quando aparece coeficiente \(1\), adição quando os coeficientes já quase se cancelam e Cramer quando quer rapidez algébrica com \(\Delta\neq0\). Decida a classe (SPD, SI, SPI) por determinante/proporcionalidade e descreva o conjunto solução.
Resumo de bolso? Use o eBook Fórmulas Matemática e pratique no Banco de Questões.
