Soma de uma PG Infinita (Série Geométrica)
Chamamos de série geométrica a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG). A soma infinita só existe (converge) quando o módulo da razão é menor que 1: \(|q|<1\).
Fórmula da soma infinita
\[ S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}\qquad \text{se }|q|<1. \]
Entendendo a condição \(|q|<1\)
A soma parcial é \(S_n=\dfrac{a_1(1-q^{n})}{1-q}\). Se \(|q|<1\), então \(q^n\to 0\) quando \(n\to\infty\), logo \(S_n\to\dfrac{a_1}{1-q}\). Se \(|q|\ge 1\) (por exemplo \(q=1,\,2,\,-1\)), o termo \(q^{n}\) não vai a zero e a série diverge (não possui soma finita).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — razão positiva
Calcule \(S_\infty\) da PG \(5,\, \tfrac{5}{2},\, \tfrac{5}{4},\, \ldots\).
Aqui \(a_1=5\) e \(q=\tfrac12\) (módulo <1). Logo \(\displaystyle S_\infty=\frac{5}{1-\tfrac12}=10\).
Exemplo 2 — razão negativa (alternante)
Encontre \(S_\infty\) da PG \(3,\,-1,\,\tfrac13,\,-\tfrac{1}{9},\ldots\).
\(a_1=3\) e \(q=-\tfrac13\) (|q|=1/3<1). \(\displaystyle S_\infty=\frac{3}{1-(-1/3)}=\frac{3}{4/3}=\frac{9}{4}=2{,}25\).
Exemplo 3 — não converge
Determine se a série com \(a_1=2\) e \(q=1\) converge.
\(|q|=1\Rightarrow\) a soma parcial cresce linearmente (\(2,4,6,\ldots\)), portanto diverge.
Exercícios (múltipla escolha)
1) A soma infinita da PG \(7,\,\tfrac{7}{4},\,\tfrac{7}{16},\ldots\) é:
- \(\dfrac{7}{1+\tfrac14}\)
- \(\dfrac{7}{1-\tfrac14}\)
- \(\dfrac{7}{\tfrac14}\)
- Divergente
\(a_1=7,\; q=\tfrac14\). \(|q|<1\Rightarrow S_\infty=\dfrac{7}{1-\tfrac14}=\dfrac{7}{\tfrac34}=\dfrac{28}{3}\). Gabarito: B.
2) A série \(10,-5,2{,}5,-1{,}25,\ldots\) possui soma infinita igual a:
- \(10\)
- \(\dfrac{20}{3}\)
- \(\dfrac{40}{3}\)
- \(\dfrac{10}{3}\)
\(a_1=10,\; q=-\tfrac12\). \(\displaystyle S_\infty=\frac{10}{1-(-1/2)}=\frac{10}{3/2}=\frac{20}{3}\). Gabarito: B.
3) Para qual valor de \(q\) a série com \(a_1=6\) não possui soma infinita?
- \(q=\tfrac34\)
- \(q=-\tfrac23\)
- \(q=1\)
- \(q=-\tfrac{9}{10}\)
A série converge sse \(|q|<1\). Quando \(q=1\), \(|q|=1\Rightarrow\) diverge. Gabarito: C.
4) Dada uma PG infinita com \(a_1=2\) e soma \(S_\infty=8\), determine \(q\).
- \(\tfrac12\)
- \(\tfrac34\)
- \(\tfrac14\)
- \(\tfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{a_1}{1-q}=8\Rightarrow \dfrac{2}{1-q}=8\Rightarrow 1-q=\tfrac14\Rightarrow q=\tfrac34\). Gabarito: B.
