Derivação Implícita — Guia Completo
Nem sempre é prático escrever \(y\) explicitamente como função de \(x\). A derivação implícita resolve isso: derivamos ambos os lados da equação tratando \(y\) como \(y(x)\) e, ao final, isolamos \(y’\).
1) Quando usar derivação implícita?
Usamos quando \(y\) aparece misturado com \(x\) (não isolado):
Dica: pense sempre em \(y=y(x)\). Toda vez que derivar um termo com \(y\), aplique a Regra da Cadeia.
2) Passo a passo
- Derive ambos os lados em relação a \(x\), tratando \(y\) como \(y(x)\).
- Reúna os termos com \(y’\) de um lado.
- Fatore \(y’\) e isole-o.
3) Exemplos resolvidos
Exemplo A — Circunferência \(x^2+y^2=9\)
Solução (detalhada)
Exemplo B — Produto misto \(x^3+y^3=6xy\)
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Exemplo C — Tangente implícita \(7y^2=4+xy^3\) no ponto \((3,2)\)
Mostrar solução
Derivando ambos os lados:
Avaliação em \((3,2)\):
Equação da tangente: ponto \(A(3,2)\), inclinação \(m=-1\).
4) Padrões úteis (relembrando Regras)
Sempre que surgir \(y\) dentro de uma função, a derivada vem multiplicada por \(y’\) (Regra da Cadeia).
5) Exercícios
- \(x^2+xy+y^2=7\)
- \(\sin(xy)=x\)
- \(x^2+\ln(y)=1\)
- \(e^{xy}=x+y\)
- \(x\cos y + y\sin x=1\)
Mostrar gabarito (derivadas \(y’\))
1) \(2x + x\,y’ + y + 2y\,y’ = 0 \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{2x+y}{x+2y}\,}\)
2) \(\cos(xy)\,(x\,y’+y)=1 \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=\frac{1-y\cos(xy)}{x\cos(xy)}\,}\)
3) \(2x+\dfrac{1}{y}y’=0 \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=-2xy\,}\)
4) \(e^{xy}(x\,y’+y)=1+y’ \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=\frac{1-ye^{xy}}{xe^{xy}-1}\,}\)
5) \(x\cos y + y\sin x=1\).
Derivando: \(\cos y – x\sin y\,y’ + y’\sin x + y\cos x = 0\).
\(\Rightarrow y'(\sin x – x\sin y)=-(\cos y + y\cos x)\).
\(\displaystyle \boxed{\,y’=\frac{\cos y + y\cos x}{x\sin y – \sin x}\,}\)
6) Para continuar estudando
Complete o estudo com os guias:
Derivação Implícita — Lista Interativa
Abra a solução apenas quando precisar. Todas as derivadas foram conferidas. Para revisar teoria, veja os guias: Definição de Derivada, Regras de Derivação, Produto & Quociente.
Exercícios
1) Circunferência
Mostrar solução
\(2x+2y\,y’=0\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{x}{y}\,}\)
2) Produto misto
Mostrar solução
\((3y^2-6x)y’=6y-3x^2\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=\frac{2y-x^2}{\,y^2-2x\,}\,}\)
3) Seno implícito
Mostrar solução
\(x\,y’+y+\sin y+x\cos y\,y’=0\)
\(y'(x+x\cos y)=-(y+\sin y)\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{y+\sin y}{x(1+\cos y)}\,}\)
4) Exponencial implícita
Mostrar solução
\(e^{xy}(x\,y’+y)=1+y’\)
\((x e^{xy}-1)y’=1-y\,e^{xy}\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=\frac{1-y\,e^{xy}}{x\,e^{xy}-1}\,}\)
5) Correção — termo produto em \(x^2y+y^2=10\)
Mostrar solução
\(2xy+x^2y’+2y\,y’=0\)
\((x^2+2y)y’=-2xy\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{2xy}{x^2+2y}\,}\) ✔
6) Inclinação e reta tangente
Mostrar solução
\((14y-3xy^2)y’=y^3\)
\(\displaystyle y’=\frac{y^3}{14y-3xy^2}=\frac{y^2}{14-3xy}\)
No ponto \((3,2)\): \(\displaystyle y’=\frac{4}{14-18}=-1\) (inclinação).
Reta tangente em \((3,2)\): \(y-2=-1(x-3)\Rightarrow \boxed{y=-x+5}\).
