Função Quadrática: o papel do coeficiente a
Na função \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)), o coeficiente \(a\) controla a concavidade e a abertura da parábola. Ele não determina sozinho a posição do vértice (porque \(y_v\) depende também de \(b\) e \(c\)), mas define se o vértice é mínimo ou máximo e o “quão aberto” é o gráfico.
1) Efeitos imediatos de \(a\)
Concavidade
- \(a>0\): abre para cima (vértice é mínimo).
- \(a<0\): abre para baixo (vértice é máximo).
Abertura (largura)
- \(|a|\) grande → parábola mais estreita.
- \(|a|\) pequeno → parábola mais larga.
Para \(y=ax^2\): \(x^2=4py\) \(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{1}{4a}\). Quanto maior \(|a|\), menor \(p\) e mais “fechada”.
Vértice e eixo
\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) (o eixo \(x=x_v\) muda com \(a\) se \(b\neq0\)). Já \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\) troca de natureza com o sinal de \(a\).
2) Visualizando com a família \(y=a(x-h)^2+k\)
Na forma canônica, \(a\) apenas estica/reflete a parábola em torno do eixo de simetria \(x=h\), sem mover o vértice \((h,k)\). Isso ajuda muito a esboçar rápido: comece da parábola básica \(y=(x-h)^2\), aplique o fator \(a\) e por fim translade \((h,k)\).
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Acessar o E-book de Fórmulas3) Exemplos resolvidos (contas uma embaixo da outra)
Exemplo A — Compare \(f_1(x)=\tfrac{1}{4}x^2\), \(f_2(x)=x^2\) e \(f_3(x)=4x^2\)
Quem é mais “aberta” e quem é mais “estreita”?
Exemplo B — Natureza do vértice em \(g(x)=-2x^2+4x+6\)
Como \(a<0\), o vértice \((1,8)\) é máximo. (Veja a análise completa deste exemplo no artigo pontos notáveis da parábola.)
Exemplo C — Mesmo \(b,c\), dois valores de \(a\)
Considere \(f_a(x)=ax^2-4x+1\). Compare o eixo e o vértice para \(a=1\) e \(a=4\).
Alterar \(a\) mudou o eixo de simetria (pois \(x_v=-b/2a\)) e a altura do vértice.
4) Perguntas rápidas
- \(a\) altera o intercepto em \(y\)? Não diretamente; o intercepto é \((0,c)\).
- \(a\) muda as raízes? Sim, pois a expressão de Bhaskara usa \(\Delta=b^2-4ac\) (há \(a\) no produto \(ac\)) e o denominador \(2a\).
- \(a\) muda só a “abertura” na forma \(y=a(x-h)^2+k\)? Sim; nessa forma, o vértice \((h,k)\) e o eixo \(x=h\) não mudam quando variamos \(a\).
5) Exercícios propostos (com gabarito)
1) Classifique a concavidade e o tipo de vértice de \(f(x)=3x^2-6x+2\). Calcule \(x_v\) e \(y_v\).
Gabarito
2) Para \(g(x)=-\tfrac12 x^2+2x-5\): concavidade, largura em relação a \(y=-x^2\) e vértice.
Gabarito
3) Determine o valor de \(a\) para que \(h(x)=a(x-1)^2+3\) seja mais estreita que \(y=(x-1)^2+3\) e abra para cima.
Gabarito
Abra para cima \(\Rightarrow a>0\). Mais estreita que \(1\) \(\Rightarrow |a|>1\). Assim, \(a>1\).
