Regra de L’Hôpital — Guia Completo
A Regra de L’Hôpital é usada para calcular limites que resultam em indeterminações do tipo \(0/0\) ou \(\infty/\infty\). Ela permite substituir o quociente original pelo quociente das derivadas, facilitando o cálculo.
1) Enunciado
Dica: A regra também vale para limites laterais e para \(x\to\pm\infty\).
2) Exemplos resolvidos
Exemplo A — \(\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\)
Verificação: Substituindo \(x=3\), temos \(0/0\).
Exemplo B — \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^3+2x^2+x-5}{e^x}\)
Verificação: \(\infty/\infty\).
3) Exercícios Propostos
- \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x}-x}{x}\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x – x}{x^3}\)
- \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}(1+2x)^{1/x}\)
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1) \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\). Aplicando L’Hôpital: \(\displaystyle \frac{( \ln x )’}{(x-1)’} = \frac{1/x}{1} = 1\). Resposta: \(\boxed{1}\)
2) \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\). 1ª aplicação: \(\displaystyle \frac{e^x-1}{2x}\) \(\to 0/0\). 2ª aplicação: \(\displaystyle \frac{e^x}{2}\Big|_{x=0}=\tfrac12\). Resposta: \(\boxed{\tfrac12}\)
3) \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x}-x}{x}\). Racionalizando: \(\displaystyle \frac{(x^2+3x)-x^2}{x(\sqrt{x^2+3x}+x)}=\frac{3x}{x(\sqrt{x^2+3x}+x)}=\frac{3}{\sqrt{x^2+3x}+x}\to0\). Resposta: \(\boxed{0}\)
4) \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x – x}{x^3}\). 1ª aplicação: \(\displaystyle \frac{\sec^2 x – 1}{3x^2}\) \(\displaystyle =\frac{\tan^2 x}{3x^2}\to\frac{x^2}{3x^2}=\tfrac13\). Resposta: \(\boxed{\tfrac13}\)
5) \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}(1+2x)^{1/x}\). Defina \(L=\lim(1+2x)^{1/x}\). \(\ln L=\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+2x)}{x}=\frac{2}{1}=2\). \(L=e^2\). Resposta: \(\boxed{e^2}\)
Regra de L’Hôpital — Lista de Exercícios com Soluções
Confirme primeiro as formas \(0/0\) ou \(\infty/\infty\). Em alguns itens pode ser necessário aplicar a regra mais de uma vez.
1) Exercícios Propostos — Básico
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}\)
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Forma \(0/0\). L’Hôpital uma vez:
\[ \lim_{x\to2}\frac{(x^2-4)’}{(x-2)’}=\lim_{x\to2}\frac{2x}{1}=4. \]Resposta: \(4\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\)
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Forma \(0/0\). L’Hôpital:
\[ \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1. \]Resposta: \(1\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{x-1}\)
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Forma \(0/0\). L’Hôpital:
\[ \lim_{x\to1}\frac{1/x}{1}=1. \]Resposta: \(1\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^x – 1}{x}\)
Ver solução
Forma \(0/0\). L’Hôpital:
\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=1. \]Resposta: \(1\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}\)
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Forma \(0/0\). L’Hôpital:
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sec^2 x}{1}=1. \]Resposta: \(1\).
2) Exercícios Propostos — Intermediário
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(2x)}\)
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Forma \(0/0\). L’Hôpital:
\[ \lim_{x\to0}\frac{3\cos(3x)}{2\cos(2x)}=\frac{3}{2}. \]Resposta: \(\dfrac{3}{2}\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x}\)
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Forma \(0/0\). L’Hôpital:
\[ \lim_{x\to0}\frac{2/(1+2x)}{1}=2. \]Resposta: \(2\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3x^2 + 2x}{e^x}\)
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\(\infty/\infty\). Aplique 2×:
\[ \frac{6x+2}{e^x}\xRightarrow{\text{L’Hôpital}}\frac{6}{e^x}\to0. \]Resposta: \(0\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} – 1 – 2x}{x^2}\)
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\(0/0\). L’Hôpital 2×:
\[ \frac{2e^{2x}-2}{2x}\;\Rightarrow\; \frac{4e^{2x}}{2}\Big|_{0}=2. \]Resposta: \(2\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x – x}{x^3}\)
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\(0/0\). L’Hôpital 3×:
\[ \frac{\cos x-1}{3x^2}\Rightarrow \frac{-\sin x}{6x}\Rightarrow \frac{-\cos x}{6}\Big|_{0}=-\frac{1}{6}. \]Resposta: \(-\dfrac{1}{6}\).
3) Exercícios Propostos — Avançado
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x) – x}{x^2}\)
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\(0/0\). L’Hôpital 2×:
\[ \frac{1/(1+x)-1}{2x}\Rightarrow \frac{-1/(1+x)^2}{2}\Big|_{0}=-\frac{1}{2}. \]Resposta: \(-\dfrac{1}{2}\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x} – 2}{x^2}\)
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\(0/0\). L’Hôpital 2×:
\[ \frac{e^x – e^{-x}}{2x}\Rightarrow \frac{e^x + e^{-x}}{2}\Big|_{0}=1. \]Resposta: \(1\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1 – \cos(2x)}{x^2}\)
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\(0/0\). L’Hôpital 2× (ou identidade trig.):
\[ \frac{2\sin(2x)}{2x}\Rightarrow 2\cos(2x)\Big|_{0}=2. \]Resposta: \(2\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 3x} – x}{x}\)
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Racionalize o numerador:
\[ \frac{\sqrt{x^2+3x}-x}{x}= \frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{x(\sqrt{x^2+3x}+x)} =\frac{3}{\sqrt{x^2+3x}+x}\xrightarrow[x\to\infty]{}0. \]Resposta: \(0\).
-
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} (1 + 2x)^{1/x}\)
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Defina \(L\). Tome logaritmo e aplique L’Hôpital:
\[ \ln L=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+2x)}{x} =\lim\frac{2/(1+2x)}{1}=2\;\Rightarrow\;L=e^{2}. \]Resposta: \(e^2\).
