Exercício de PG — Soma e produto dos três primeiros termos
Use a ideia de produto em PG e o termo geral para identificar os termos.
Enunciado
A soma dos três primeiros termos de uma progressão geométrica é \(26\) e o produto desses três termos é \(216\). Quais são esses termos, em ordem crescente?
- \((3,\,6,\,12)\)
- \((1,\,6,\,19)\)
- \((2,\,6,\,18)\)
- \((4,\,6,\,16)\)
Passo 1 — use o termo médio geométrico.
Em uma PG com três termos consecutivos, podemos escrevê-los como \(\left(\dfrac{g}{q},\,g,\,gq\right)\), onde \(g\) é o termo médio.
O produto vale \(g^3\). Como o produto dado é \(216\), temos
\[
g^3=216 \;\Rightarrow\; g=6.
\]
Passo 2 — use a soma.
A soma dos três termos é \(6\!\left(1+\dfrac{1}{q}+q\right)=26\).
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\[
1+q+\frac{1}{q}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}
\;\Rightarrow\; q^2+q+1=\frac{13}{3}\,q
\;\Rightarrow\; 3q^2-10q+3=0.
\]
As soluções são \(q=\dfrac{10\pm8}{6}\Rightarrow q=3\) ou \(q=\dfrac{1}{3}\).
Passo 3 — escreva os termos.
Para \(q=3\): \((6/3,\,6,\,6\cdot3)=(2,\,6,\,18)\).
Para \(q=\tfrac{1}{3}\) os termos ficam \((18,\,6,\,2)\), que em ordem crescente também resultam em \((2,\,6,\,18)\).
Gabarito: C) (2, 6, 18).
