📘 Dicionário de Matemática — Letra W
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de Wronskiano, Weibull e Wishart a Wiener, Wavelet, Lambert W, Weierstrass, Wasserstein e Wigner.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
WronskianoEquações Diferenciais
Determinante que verifica independência linear de soluções de EDO linear.
Para soluções \(y_1,\dots,y_n\): \(W=\det\begin{bmatrix}y_1&\cdots&y_n\\ y_1’&\cdots&y_n’\\ \vdots& &\vdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\end{bmatrix}\). Em \(y”+p(x)y’+q(x)y=0\): \(W(x)=W(x_0)\exp\!\big(-\int_{x_0}^x p(t)\,dt\big)\).
Weibull (Distribuição)Probabilidade
Modelo contínuo flexível para tempos de vida, com forma \(k\) e escala \(\lambda\).
PDF: \(f(x)=\dfrac{k}{\lambda}\left(\dfrac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}\) (\(x\ge0\)); \(F(x)=1-e^{-(x/\lambda)^k}\); \(\mathbb{E}[X]=\lambda\,\Gamma(1+1/k)\).
Wishart (Distribuição)Probabilidade Multivariada
Distribuição de matrizes de covariância amostral; se \(X_i\sim \mathcal{N}_p(0,\Sigma)\), então \(S=\sum X_iX_i^\top\sim \mathcal{W}_p(n,\Sigma)\).
\(\mathbb{E}[S]=n\,\Sigma\);\; se \(A\sim \mathcal{W}_p(n,\Sigma)\), então \(A^{-1}\) é Inversa-Wishart (quando \(n>p+1\)).
Wiener (Processo de Wiener / Browniano)Processos Estocásticos
Processo contínuo com incrementos independentes normais de média 0 e variância igual ao tempo.
\(W(0)=0\); \(W(t)-W(s)\sim \mathcal{N}(0,t-s)\) para \(t\ge s\); trajetórias contínuas quase certamente.
Wavelet (Ondalete)Análise / Sinais
Família de funções obtidas por dilatações e translações de uma “onda-mãe”, capturando detalhes locais de sinais.
Transformada contínua: \(W_\psi(a,b)=\dfrac{1}{\sqrt{|a|}}\int f(t)\,\overline{\psi\!\left(\frac{t-b}{a}\right)}\,dt\).
Lambert \(W\) (Função)Análise / Funções Especiais
Satisfaz \(W(z)e^{W(z)}=z\); útil para resolver equações com variável em base e expoente.
Derivada: \(W'(z)=\dfrac{W(z)}{z\,(1+W(z))}\) (para \(z\ne0,-e^{-1}\)); ramos principais \(W_0\) e \(W_{-1}\) em \(z\in[-e^{-1},0)\).
Weierstrass (Teorema da Aproximação)Análise
Toda função contínua em \([a,b]\) pode ser aproximada uniformemente por polinômios.
Ex.: polinômios de Bernstein \(B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\to f(x)\) em \([0,1]\).
Função de WeierstrassAnálise
Exemplo clássico contínuo em todo ponto e não diferenciável em nenhum (para parâmetros usuais).
\(W(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\), com \(0<a<1\) e \(b\in\mathbb{N}\) ímpar; escolhas típicas garantem não diferenciabilidade.
White Noise (Ruído Branco)Séries Temporais
Sequência \(\{e_t\}\) com média 0, variância constante e ausência de autocorrelação.
\(\mathbb{E}[e_t]=0\), \(\operatorname{Var}(e_t)=\sigma^2\), \(\gamma(h)=0\) para \(h\ne0\); densidade espectral plana.
Wilcoxon (Postos Sinalizados)Estatística
Teste não paramétrico para comparar mediana de amostra pareada com 0 (ou duas medidas pareadas).
Ordena \(|d_i|\), soma postos com sinal; estatística \(W^+\) (ou \(W\)) comparada à distribuição nula (ou aproximação normal para \(n\) grande).
Wilcoxon–Mann–Whitney (Teste U)Estatística
Compara duas amostras independentes quanto à posição (medianas), sem supor normalidade.
Estatística \(U\) baseada nas somas dos postos conjuntos; para \(n_1,n_2\) grandes, usa-se aproximação normal de \(U\).
Teste de WaldInferência
Avalia \(H_0:\theta=\theta_0\) usando estimativa assintoticamente normal.
\(Z=\dfrac{\hat\theta-\theta_0}{\operatorname{se}(\hat\theta)}\) \(\sim\) aprox. \(\mathcal{N}(0,1)\) sob \(H_0\); versão multivariada usa \(\chi^2\).
Equação de WaldProbabilidade
Para \(\{X_i\}\) i.i.d. e tempo de parada \(T\) com \(\mathbb{E}[T]<\infty\), o valor esperado da soma até \(T\) separa-se.
\(\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^{T} X_i\right]=\mathbb{E}[T]\;\mathbb{E}[X_1]\) (sob hipóteses usuais de independência/parada).
Wasserstein (Distância de \(p\)-Wasserstein)OT / Probabilidade
Mede custo ótimo para transportar massa entre distribuições.
\(W_p(\mu,\nu)=\big(\inf_{\gamma\in\Pi(\mu,\nu)}\int d(x,y)^p\,d\gamma(x,y)\big)^{1/p}\), onde \(\Pi\) acopla \(\mu\) e \(\nu\).
Walsh–Hadamard (Transformada)Sinais / Códigos
Transformada ortogonal binária baseada em sequências de Walsh; útil em compressão e correção de erros.
Matriz de Hadamard \(H_1=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\), \(H_{n}=\begin{bmatrix}H_{n-1}&H_{n-1}\\ H_{n-1}&-H_{n-1}\end{bmatrix}\); \(X=H_n x\).
Whitney (Teoremas de Imersão/Embutimento)Topologia Diferencial
Toda variedade suave de dimensão \(m\) imerge em \(\mathbb{R}^{2m-1}\) e embute-se em \(\mathbb{R}^{2m}\).
Consequência: variedades suaves admitem representação sem auto-interseções em dimensão \(2m\).
Wold (Decomposição)Séries Temporais
Todo processo estacionário de média zero pode ser decomposto como parte determinística + MA(\(\infty\)) impulsionado por ruído branco.
\(X_t=\sum_{j=0}^{\infty}\psi_j e_{t-j}+d_t\) com \(\sum |\psi_j|<\infty\) e \(d_t\) determinístico.
Waring (Problema de Waring)Teoria dos Números
Todo natural é soma de um número finito \(g(k)\) de \(k\)-ésimas potências; por ex., todo número é soma de no máx. 4 quadrados.
Ex.: \(g(2)=4\) (Lagrange); conjecturas/valores para outros \(k\) envolvem métodos analíticos.
Wigner (Lei do Semicírculo)Matrizes Aleatórias
Distribuição limite do espectro de certas matrizes simétricas com entradas i.i.d.
Densidade: \(\rho(x)=\dfrac{1}{2\pi \sigma^2}\sqrt{4\sigma^2-x^2}\) para \(|x|\le 2\sigma\); zero fora.
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