📘 Dicionário de Matemática — Letra I
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de integral, intervalo e injetora a inversa, íntimo/ínfimo, isometria, independência e intervalo de confiança.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Integral IndefinidaCálculo
Família de antiderivadas de \(f\); difere por constante aditiva.
\(\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,\; F'(x)=f(x)\).
Integral DefinidaCálculo
Acúmulo/área assinada de \(f\) entre \(a\) e \(b\).
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) (Teorema Fundamental do Cálculo).
Integração por PartesCálculo
Regra baseada no produto: útil para integrais de produtos de funções.
\(\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\).
Integral por SubstituiçãoCálculo
Mudança de variável para simplificar a integração.
Se \(x=g(t)\), então \(\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))\,g'(t)\,dt\).
Imagem (de uma Função)Funções
Conjunto de valores efetivamente assumidos por \(f\).
Se \(f:A\to B\), então \(f(A)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B\).
Injetora (Função)Funções
Não colapsa pontos distintos: valores de saída distintos para entradas distintas.
\(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) (ou contrapos: \(x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)\)).
Inversa (Função)Funções
Função que desfaz \(f\); existe quando \(f\) é bijetora (ou monotônica em domínio adequado).
\(f^{-1}(f(x))=x\) e \(f(f^{-1}(y))=y\).
Matriz InversaÁlgebra Linear
Para matriz quadrada \(A\) com \(\det(A)\ne0\), existe \(A^{-1}\) tal que \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\).
Para \(2\times2\): \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\), se \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\).
Matriz IdentidadeÁlgebra Linear
Matriz diagonal com 1s na diagonal principal; elemento neutro da multiplicação matricial.
\(I_n\mathbf{x}=\mathbf{x}\), \(AI_n=I_nA=A\).
InterseçãoTeoria dos Conjuntos
Elementos comuns a \(A\) e \(B\).
\(A\cap B=\{x:x\in A \text{ e } x\in B\}\).
Intervalo (Aberto/Fechado)Análise
Subconjunto de \(\mathbb{R}\) entre dois pontos, com ou sem extremidades.
Aberto: \((a,b)=\{x:a<x<b\}\); Fechado: \([a,b]=\{x:a\le x\le b\}\).
InteriorTopologia
Conjunto dos pontos com vizinhança inteiramente contida em \(A\).
\(A^\circ=\bigcup\{B_r(x)\subseteq A\}\).
Ínfimo / SupremosAnálise
Ínfimo: maior limitante inferior; supremo: menor limitante superior.
\(\inf A\le a\le \sup A\) para todo \(a\in A\); se atingidos, são mínimo/máximo.
Ponto de InflexãoCálculo
Ponto onde a concavidade de \(f\) muda (sinal de \(f”\) troca).
Critério: \(f”(x_0)=0\) (ou não definida) e \(f”\) muda de sinal em \(x_0\).
Inteiro (ℤ)Aritmética
Conjunto \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\) com operações de adição e multiplicação usuais.
Propriedades: comutatividade, associatividade, distributividade; ausência de divisores de zero.
IrracionalTeoria dos Números
Número que não pode ser expresso como razão de inteiros; expansão decimal infinita e não periódica.
Ex.: \(\sqrt{2}, \pi, e\).
Indução MatemáticaLógica / Provas
Técnica para provar afirmações sobre inteiros: base + passo indutivo.
Se \(P(n_0)\) é verdadeira e \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\), então \(P(n)\) é verdadeira para \(n\ge n_0\).
Independência (Eventos)Probabilidade
Ocorrência de um evento não altera a probabilidade do outro.
\(A\perp B \iff \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\).
Intervalo de ConfiançaEstatística
Faixa de valores que, com certo nível (ex.: 95%), contém o parâmetro populacional.
Para média (σ conhecida): \(\bar x \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
IsometriaGeometria
Transformação que preserva distâncias (translação, rotação, reflexão).
\(\|T(x)-T(y)\|=\|x-y\|\) para todos \(x,y\).
Isoperimétrico (Teorema)Geometria / Análise
Dentre figuras de mesmo perímetro, o círculo tem a maior área.
Desigualdade: \(4\pi A \le P^2\), com igualdade apenas para o círculo.
IdempotenteÁlgebra
Elemento \(e\) tal que \(e\cdot e=e\) (ou operador \(T\) com \(T^2=T\)).
Projetor linear \(P\): \(P^2=P\).
Interior RelativoAnálise Convexa
Interior calculado no menor afim que contém o conjunto (útil para conjuntos “achatados”).
\(\operatorname{ri}(C)=\{x\in C:\exists\,\varepsilon>0,\; B_\varepsilon(x)\cap \operatorname{aff}(C)\subseteq C\}\).
Integral de LinhaCálculo Vetorial
Integração ao longo de uma curva: escalar (comprimento ponderado) ou vetorial (trabalho).
\(\displaystyle \int_C f\,ds\) ou \(\displaystyle \int_C \vec F\cdot d\vec r\).
Integral de SuperfícieCálculo Vetorial
Integração sobre uma superfície; pode somar campo escalar ou fluxo de campo vetorial.
\(\displaystyle \iint_S f\,dS\) ou \(\displaystyle \iint_S \vec F\cdot \hat n\,dS\).
Integral de Linha ComplexaAnálise Complexa
Integração de funções complexas ao longo de contornos no plano complexo.
Teorema de Cauchy: \(\oint_\gamma f(z)\,dz=0\) se \(f\) é holomorfa num domínio simplesmente conexo.
IncógnitaÁlgebra
Valor desconhecido a ser determinado em uma equação.
Ex.: em \(2x+5=11\), a incógnita é \(x\).
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