Teorema de Bayes — Intuição, Fórmula, Exemplos e Exercícios
Atualize crenças com dados: o Teorema de Bayes combina probabilidades condicionais, a lei da probabilidade total e informação prévia (prior).
1) Intuição e Fórmula
Enunciado
Para eventos \(B_1,\ldots,B_n\) que formam uma partição do espaço amostral e um evento \(A\):
\[
P(B_k\mid A)=\frac{P(A\mid B_k)\,P(B_k)}
{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i)}.
\]
Como chegamos à fórmula?
Use a definição de condicional, a regra do produto e a probabilidade total:
\[
\begin{aligned}
P(B_k\mid A)
&= \frac{P(A\cap B_k)}{P(A)} \\[4pt]
&= \frac{P(A\mid B_k)\,P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i)}.
\end{aligned}
\]
Armadilhas comuns (atenção ao “base rate”)
- Confundir sensibilidade/especificidade com \(P(D\mid +)\): são grandezas diferentes.
- Ignorar a prevalência (prior): quando \(P(D)\) é pequena, mesmo um bom teste pode gerar baixo \(P(D\mid +)\).
- Usar partições incorretas: verifique se \(\{B_i\}\) cobre todo o espaço e é disjunta.
2) Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 (teste médico).
Prevalência \(P(D)=2\%\). Sensibilidade \(P(+\mid D)=95\%\). Falso positivo \(P(+\mid \overline{D})=3\%\).
Qual \(P(D\mid +)\)?
Ver solução
Evidência: \(P(+)=0{,}95\cdot 0{,}02 + 0{,}03\cdot 0{,}98 = 0{,}019 + 0{,}0294 = 0{,}0484.\)
Posterior:
\(P(D\mid +)=\dfrac{0{,}019}{0{,}0484}\approx 0{,}393.\)
Exemplo 2 (qualidade por linha).
Duas linhas: \(L_1\) (60%) e \(L_2\) (40%). Defeito: \(P(D\mid L_1)=3\%\), \(P(D\mid L_2)=6\%\).
Dado que o item é defeituoso, qual \(P(L_2\mid D)\)?
Ver solução
\(P(L_2\mid D)=\dfrac{0{,}06\cdot 0{,}40}{0{,}03\cdot 0{,}60 + 0{,}06\cdot 0{,}40}
=\dfrac{0{,}024}{0{,}042}\approx 0{,}571.\)
Exemplo 3 (filtro de spam).
Prior \(P(S)=20\%\). Verdadeiro positivo \(P(F\mid S)=90\%\). Falso positivo \(P(F\mid \overline{S})=5\%\).
Sinal \(F\)=“marcado como spam”. Calcule \(P(S\mid F)\).
Ver solução
\(P(S\mid F)=\dfrac{0{,}90\cdot 0{,}20}{0{,}90\cdot 0{,}20 + 0{,}05\cdot 0{,}80}
=\dfrac{0{,}180}{0{,}220}\approx 0{,}818.\)
3) Boas práticas e conexões
Leia priors e verossimilhanças com cuidado
- Defina o evento de interesse com precisão.
- Cheque independência quando modelar cadeias (independência).
- Use regra do produto e probabilidade total para a evidência.
- Se o espaço é equiprovável, conte casos corretamente.
- Em amostragens com \(n\) ensaios, a contagem de sucessos pode seguir a Binomial.
4) Exercícios Resolvidos
Exercício 1. Uma cidade tem \(40\%\) de usuários do app A (\(A\)) e \(60\%\) do app B (\(B\)). Uma falha \(F\) aparece em \(5\%\) dos usuários A e em \(2\%\) dos usuários B.
Dado que um usuário apresentou \(F\), qual \(P(A\mid F)\)?
Ver solução
\(P(F)=0{,}05\cdot 0{,}40 + 0{,}02\cdot 0{,}60=0{,}020 + 0{,}012=0{,}032.\)
\(P(A\mid F)=\dfrac{0{,}05\cdot 0{,}40}{0{,}032}=\dfrac{0{,}020}{0{,}032}=0{,}625.\)
Exercício 2. Hospital usa dois testes \(T_1\) (70%) e \(T_2\) (30%). Para doentes, \(P(+\mid D,T_1)=0{,}92\), \(P(+\mid D,T_2)=0{,}88\). Para sadios, \(P(+\mid \overline{D},T_1)=0{,}04\), \(P(+\mid \overline{D},T_2)=0{,}02\). Prevalência \(P(D)=5\%\).
Dado \(+\), qual \(P(D\mid +)\)? (Use probabilidade total duas vezes.)
Ver solução
\(P(+\mid D)=0{,}92\cdot 0{,}70+0{,}88\cdot 0{,}30=0{,}644.\)
\(P(+\mid \overline{D})=0{,}04\cdot 0{,}70+0{,}02\cdot 0{,}30=0{,}034.\)
\(P(+)=0{,}644\cdot 0{,}05 + 0{,}034\cdot 0{,}95=0{,}0322+0{,}0323=0{,}0645.\)
\(P(D\mid +)=\dfrac{0{,}644\cdot 0{,}05}{0{,}0645}=\dfrac{0{,}0322}{0{,}0645}\approx 0{,}499.\)
5) Lista de Exercícios
Questão 1 (teste raro).
Prevalência \(1\%\). Sensibilidade \(99\%\). Falso positivo \(2\%\).
Qual \(P(D\mid +)\)?
- A) \(0{,}333\)
- B) \(0{,}500\)
- C) \(0{,}090\)
- D) \(0{,}980\)
- E) \(0{,}010\)
Ver solução
\(P(+)=0{,}99\cdot0{,}01+0{,}02\cdot0{,}99=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297.\)
\(P(D\mid +)=0{,}0099/0{,}0297=1/3\approx 0{,}333.\) Gabarito: A.
Questão 2 (qual linha?).
\(P(A)=30\%\), \(P(B)=70\%\). Defeitos: \(P(D\mid A)=2\%\), \(P(D\mid B)=4\%\). Dado que é defeituoso, \(P(A\mid D)\) é:
- A) \(0{,}176\)
- B) \(0{,}300\)
- C) \(0{,}824\)
- D) \(0{,}540\)
- E) \(0{,}500\)
Ver solução
\(\dfrac{0{,}02\cdot0{,}30}{0{,}02\cdot0{,}30 + 0{,}04\cdot0{,}70}=\dfrac{0{,}006}{0{,}034}\approx 0{,}176.\) Gabarito: A.
Questão 3 (moeda misteriosa).
Escolhe-se uma moeda ao acaso: justa (\(p=1/2\)) ou viciada (\(p=3/4\)). Observa-se 1 cara. \(P(\text{viciada}\mid \text{cara})\) vale:
- A) \(0{,}400\)
- B) \(0{,}500\)
- C) \(0{,}600\)
- D) \(0{,}750\)
- E) \(0{,}250\)
Ver solução
\(\dfrac{0{,}75\cdot0{,}5}{0{,}5\cdot0{,}5 + 0{,}75\cdot0{,}5}=\dfrac{0{,}375}{0{,}625}=0{,}600.\) Gabarito: C.
Questão 4 (uso de material).
\(40\%\) dos alunos usam guia de estudos (\(G\)). Aprovam: \(P(A\mid G)=80\%\), \(P(A\mid \overline{G})=50\%\).
Dado que um aluno foi aprovado, \(P(G\mid A)\) é:
- A) \(0{,}400\)
- B) \(0{,}516\)
- C) \(0{,}600\)
- D) \(0{,}300\)
- E) \(0{,}200\)
Ver solução
\(P(A)=0{,}8\cdot0{,}4 + 0{,}5\cdot0{,}6=0{,}320+0{,}300=0{,}620.\)
\(P(G\mid A)=0{,}320/0{,}620\approx 0{,}516.\) Gabarito: B.
Questão 5 (alarme raro).
Evento \(R\) é raro: \(P(R)=0{,}5\%\). Sensibilidade \(P(+\mid R)=98\%\). Falso positivo \(P(+\mid \overline{R})=2\%\).
Dado um alarme \(+\), \(P(R\mid +)\) vale:
- A) \(0{,}980\)
- B) \(0{,}500\)
- C) \(0{,}198\)
- D) \(0{,}020\)
- E) \(0{,}005\)
Ver solução
\(P(+)=0{,}98\cdot0{,}005 + 0{,}02\cdot0{,}995=0{,}0049+0{,}0199=0{,}0248.\)
\(P(R\mid +)=0{,}0049/0{,}0248\approx 0{,}198.\) Gabarito: C.
Gabarito
1) A 2) A 3) C 4) B 5) C
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Conclusão
O Teorema de Bayes transforma probabilidades condicionais em atualização racional de crenças. Ligue os pontos com condicional, regra do produto, independência, Binomial e espaços equiprováveis.
