Exercícios de Progressão Geométrica (PG)
Questões de progressão geométrica (sequência geométrica) com enunciados completos, alternativas e solução comentada. Para revisar teoria, veja: definição, classificação, termo geral, soma de PG finita, produto \(P_n\) e interpolação geométrica.
Nível 1 — Fundamentos
1) Considere a PG \((3,\,9,\,27,\ldots)\), com termos positivos. Determine o sexto termo \(a_6\).
- 243
- 486
- 729
- 972
Razão \(q=3\). Pelo termo geral \(a_n=a_1q^{n-1}\): \(a_6=3\cdot3^{5}=729\). Gabarito: C.
2) Numa PG, sabe-se que \(a_1=5\) e \(a_4=135\). Calcule a razão \(q\) da progressão.
- 2
- 3
- 4
- 5
\(a_4=a_1q^{3}\Rightarrow135=5q^{3}\Rightarrow q^{3}=27\Rightarrow q=3\). Gabarito: B.
3) Uma PG possui \(a_1=-8\) e \(q=\tfrac12\). Classifique-a: crescente, decrescente, alternante ou constante.
- Crescente
- Decrescente
- Alternante
- Constante
Com \(a_1<0\) e \(0<q<1\), os termos aumentam (tornam-se menos negativos) aproximando-se de 0 ⇒ crescente. Gabarito: A.
Nível 2 — Soma e Produto
4) Para \(a_1=4\) e \(q=2\), calcule a soma \(S_6\) dos seis primeiros termos da PG.
- 248
- 252
- 256
- 260
\(S_6=\dfrac{4(2^{6}-1)}{2-1}=4\cdot63=252\). Gabarito: B.
5) Em uma PG com \(a_1=3\) e \(q=2\), determine o produto \(P_5\) dos cinco primeiros termos.
- \(3^{5}\cdot2^{6}\)
- \(3^{5}\cdot2^{10}\)
- \(3^{4}\cdot2^{10}\)
- \(3^{5}\cdot2^{15}\)
\(P_n=a_1^{n}q^{\frac{n(n-1)}{2}}\Rightarrow P_5=3^{5}\cdot2^{10}\). Gabarito: B.
6) Para uma PG qualquer, com número ímpar de termos \(n=2k-1\), o produto dos \(n\) primeiros termos é igual a:
- \((a_k)^{2k-1}\)
- \((a_{k})^{k}\)
- \((a_{k+1})^{2k-1}\)
- \(a_1 a_{2k-1}\)
Termos equidistantes do centro multiplicam-se no quadrado do termo central ⇒ \(P_{2k-1}=(a_k)^{2k-1}\). Gabarito: A.
Nível 3 — Termo geral e dados intermediários
7) Em uma PG positiva, \(a_3=12\) e \(a_6=96\). Determine \(a_1\) e \(q\), nessa ordem.
- \(2\) e \(2\)
- \(3\) e \(2\)
- \(4\) e \(2\)
- \(6\) e \(2\)
\(\dfrac{a_6}{a_3}=q^3=\dfrac{96}{12}=8\Rightarrow q=2\). \(a_1=\dfrac{a_3}{q^{2}}=\dfrac{12}{4}=3\). Gabarito: B.
8) Numa PG alternante (razão negativa), \(a_2=-6\) e \(a_3=18\). Encontre a razão \(q\) e o primeiro termo \(a_1\).
- \(q=-3\) e \(a_1=2\)
- \(q=-3\) e \(a_1=-2\)
- \(q=-\tfrac{1}{3}\) e \(a_1=18\)
- \(q=3\) e \(a_1=-2\)
\(a_3=a_2q\Rightarrow 18=-6q\Rightarrow q=-3\). \(a_2=a_1q\Rightarrow -6=a_1(-3)\Rightarrow a_1=2\). Gabarito: A.
Nível 4 — Interpolação geométrica e aplicações
9) Inserem-se \(3\) meios geométricos positivos entre \(5\) e \(40\). Qual é a razão \(q\) da PG formada?
- 2
- \(\sqrt[4]{8}\)
- \(\sqrt[3]{8}\)
- \(\sqrt[4]{\tfrac{40}{5}}\)
Há \(n=k+2=5\) termos: \(a_5=40=a_1q^{4}=5q^{4}\Rightarrow q^{4}=8\Rightarrow q=\sqrt[4]{8}\,(>0)\). Gabarito: B.
10) Uma colônia de células triplica a cada hora. Iniciando com \(12\) células, determine o número total após \(8\) horas.
- \(59\,049\)
- \(78\,732\)
- \(65\,610\)
- \(12\cdot 3^{7}\)
Modelo PG: \(N(t)=12\cdot 3^{t}\). Para \(t=8\): \(N=12\cdot 3^{8}=12\cdot 6561=78\,732\). Gabarito: B.
Nível 5 — Mistos e desafios
11) Em uma PG de termos positivos, \(a_2=6\) e \(a_5=48\). Calcule a soma \(S_6\) dos seis primeiros termos.
- 162
- 189
- 192
- 196
\(\dfrac{a_5}{a_2}=q^{3}=\dfrac{48}{6}=8\Rightarrow q=2\). \(a_1=\dfrac{6}{2}=3\). \(S_6=\dfrac{3(2^{6}-1)}{2-1}=3\cdot63=189\). Gabarito: B.
12) Uma PG alternante possui \(a_{10}=2\). Determine o produto \(P_{19}\) dos 19 primeiros termos.
- \(2^{19}\)
- \(-2^{19}\)
- \(2^{9}\)
- \(-2^{9}\)
Para \(n\) ímpar, \(P_n=(a_{(n+1)/2})^{n}\). Logo \(P_{19}=(a_{10})^{19}=2^{19}\) (positivo). Gabarito: A.
